WisFaq!

De baan van x onder een groep G

Hallo wisfaq,

Ik wil graag de volgende vraag oplossen:
Laat zien dat de banen van X onder de groep G de equivalentieklassen in X zijn onder de equivalentierelatie x~y d.e.s.d.a. x=gy voor zekere g in G.

Groeten,
Viky

viky
5-4-2005

Antwoord

Als je weet dat ~ een equivalentierelatie is, dan ben je er eigenlijk al, want dan geldt dat elk element van X tot een equivalentieklasse behoort (haja: x zit in de baan van x), en vermits je weet dat banen altijd gelijk of disjunct zijn, zit dus elk element in juist 1 equivalentieklasse.

Rest enkel nog te bewijzen dat ~ een equivalentierelatie is, dit is: bewijs dat ~ reflexief is ("xÎX:x~x), symmetrisch ("x,yÎX: als x~y dan y~x) en transitief ("x,y,zÎX: als x~y en y~z dan x~z).

En die drie dingen moet je dan aantonen door terug te grijpen naar de definitie van ~ die je gegeven hebt, en gebruik te maken van de groepseigenschappen. Maar dat is dan wel heel eenvoudig he.

Groetjes,
Christophe.

Christophe
5-4-2005