WisFaq!

Re: Re: Partielen integratie en zo

(1)
oeps!sorry!

(2)
Er is me een lichtje opgegaan. Dus de afgeleide van cotx= -1/sin²x ! Ik zat er de hele tijd mee in m'n hoofd dat de 'omgekeerde afgeleide' van 1/sin²x = -cotanx ... NU begrijp ik het :-)

Het gebeurd bij oefeningen vaak dat men bv een sinx of cosx 'binnen de d(x) ' brengt. Ik zit dan vaak verveeld met de mintekens; ik doe bv:
u=cosx
du=-sinxdx
Want bij substitutie neem je toch de 'gewone afgeleidde'? In oefeningen merk ik echter dat er gewoon d(sinx) van wordt gemaakt en niet -d(sinx) ?

(3)
OK, ik zie het, ik had dat even over het hoofd gezien. Maar hoe moet het dan verder? Ik geprobeerd d.m.v. partiële integratie maar dan bekom ik (letterlijk!) niets (0)? Hoe kan ik het beter aanpakken?

Bij mijn opgave staat er wel dat het zou moeten lukken splitsing/substitutie en er staat bij: tip: t²=√(e^x-1)

Zou u me opnieuw verder kunnen helpen met deze oefening?

Alvast bedankt!

vele groetjes

Veerle
5-4-2005

Antwoord

Beste Veerle,

Met tekens moet je inderdaad opletten in dit soort gevallen...
Afleiden:
sin $\Rightarrow$ cos
cos $\Rightarrow$ -sin
Integreren:
sin $\Rightarrow$ -cos
cos $\Rightarrow$ sin

Nu, wanneer je iets 'uit' de 'd' brengt leid je het af.
Bvb: dx² = 2xdx, d(cosx) = -sinxdx, ...

Omgekeerd, om iets binnen de 'd' te brengen moet je het dus integreren!
Bvb: xdx = d(x²/2), cosxdx = d(sinx)

Ik zal een voorbeeld geven voor je substitutieprobleem.
Neem de volgende integraal:

$\int{}$sinx cosx dx

Je kan nu die cosx 'binnen de dx' brengen, daarvoor moet je zoals ik net zei integreren, en dat wordt dus gewoon dsinx.

$\Rightarrow$ $\int{}$sinx cosx dx = $\int{}$sinx d(sinx) = sin²x/2 + C

Stel je wilt het doen met een 'klassieke substitutie'.
Stel y = sinx $<\Rightarrow$ dy = cosx dx

$\Rightarrow$ $\int{}$sinx cosx dx = $\int{}$y dy = y²/2 = sin²x/2 + C

Als je als substitutie y = cos x gebruikt had dan zou je dit gevonden hebben: -cos²x/2 + C
Dit lijkt misschien vreemd, maar via de hoofdformule (sin²x + cos²x = 1) blijkt dit hetzelfde te zijn. Het is immers: -(1-sin²x)/2 + C = -¹/₂ + sin²x/2 + C waarbij die -1 in de integratieconstante kan bevat worden, en je vindt terug sin²x/2.

Als je wat onzeker bent over het 'knutselen' met de dx kan je altijd de gewone substitutie toepassen

3) Via die substitutie kom je er ook, volg even mee:

t² = √(ex-1)
$<\Rightarrow$ ex = t⁴ + 1
$<\Rightarrow$ 2tdt = ex/(2√(ex-1)) dx = (t⁴+1)/(2t²) dx $<\Rightarrow$ 4t³/(t⁴+1) dt = dx

We vinden dus dat:
$\int{}$√(ex-1) dx = $\int{}$4t⁵/(t⁴+1) dt = 4$\int{}$(t(t⁴+1)-t)/(t⁴+1) dt = 4$\int{}$tdt - 4$\int{}$t/(t⁴+1) dt

Die eerste kan je rechtstreeks integreren en die tweede kan je naar aan ATAN (Bgtan) omvormen, bvb via 2tdt = dt².

mvg,
Tom

td
5-4-2005