WisFaq!

Groepswerkingen en homomorfisme

Hallo wisfaq,

Ik wil laten zien dat de formule r*z=r+z (* is de groepsoperatie) voor r in R(reele getallen) en z in C(complexe getallen) een werking van de additieve groep G=R op de verzameling X=C geeft.En de banen beschrijven onder deze werking.Zelf heb ik,

We moeten een homomorfisme definieren f:R-S(C).Volgens mij stuurt de afbeelding x in R naar z-z+x in S(C).
Door puzzelen ben ik hier achter gekomen, maar kun je hier ook achterkomen door logisch te gaan redeneren?

Dit is een homomorfisme want, zij x en y in R en z in C, dan,
f(y+x)=x+x+y=(z+x)+y=f(x)(z)+y=f(y)[f(x)(z)[=[f(y)*f(x)](z)
Is dit allemaal correct?

De baan van een punt z in C is ,
{z'in C: z'-z in R}={z'in C: Im(z')=Im(z)}
="horizontale lijn in complexe vlak door z".
Is dit correct?

Groeten,
Viky

viky
4-4-2005

Antwoord

Dag Viky,

Alles is correct, behalve het begin van die ene regel, dat moet zijn:
(f(y+x))(z) = y+x+z = (z+x)+y en vanaf dan klopt het weer wel.

En hoe je achter dat voorschrift van die f kan komen? Tja, er is gegeven dat je aan elk reeel getal een afbeelding moet associeren, en dat je moet werken met de somafbeelding... Dus lijkt het wel erg logisch om te definieren:
f:x®f_x met f_x:z®z+x

Alleen nog dit: moet je voor een homomorfisme niet ook nog nagaan of het eenheidselement op het eenheidselement wordt afgebeeld? Hier wordt dus de 0, die eenheidselement is in ,+, afgebeeld op de identiteit, die eenheidselement is in S(). (vul maar eens x=0 in in de f-definitie hierboven).

Groeten,
Christophe.

Christophe
4-4-2005