WisFaq!

Re: Priemgetallen

Dit antwoord klopt niet!
Want 12012 is inderdaad deelbaar door 7, 11, en 13, want
12-12=0 en is dus deelbaar
en voor 1212 geldt: 1-212=-211. En dit is niet deelbaar door 7, 11, en 13 7.
Dus hiermee kun je de stelling niet ontkrachten.

Kijk goed naar het min - teken!
ck|ck-1|...|c4|c3-c2|c1|c0

Frans Koene
2-4-2005

Antwoord

Ha Frans,

bedankt voor je mailtje. Het misverstand heeft te maken met het ontbreken van haakjes, waardoor het niet duidelijk is hoe je de stelling moet lezen. Niet voor niets begon ik mijn antwoord met: "als ik jou goed begrepen heb,". Ik had het getal ck|ck-1|...|c4|c3-c2|c1|c0 namelijk opgevat als ck|ck-1|...|c4|(c3-c2)|c1|c0, terwijl jij het opgevat wilt laten worden als (ck|ck-1|...|c4|c3)-(c2|c1|c0). In het eerste geval vormen 12012 en 1212 een paar, en dus een tegenvoorbeeld, in het tweede geval volgt hier het bewijs dat de stelling dan wel waar is:

Noem
n = ck|ck-1|...|c4|c3|c2|c1|c0
q = ck|ck-1|...|c4|c3
r = c2|c1|c0
m = (ck|ck-1|...|c4|c3)-(c2|c1|c0)

Dan is n = 1000·q+r en m = q-r en de stelling luidt dat ofwel beiden deelbaar zijn door 7,11 en 13, ofwel beide niet. Overigens schuilt daarin ook nog een onduidelijkheid in de formulering: geldt de stelling alleen als n resp. m deelbaar is door alledrie deze getallen, of voor elk afzonderlijk. Het laatste is een sterkere uitspraak en blijkt ook te gelden:
1. n is deelbaar door 7 desda m is deelbaar door 7
2. n is deelbaar door 11 desda m is deelbaar door 11
3. n is deelbaar door 13 desda m is deelbaar door 13
Elk van deze drie moet afzonderlijk bewezen worden, maar het bewijs is voor alledrie nagenoeg gelijk:
1000 = 143·7 - 1 = 91·11 - 1 = 77·13 - 1, dus modulo 7, 11 of 13 gerekend is 1000 gelijk aan -1. Maar dan is dus
n = -q + r = -m modulo 7, 11 of 13 en het is duidelijk dat -m deelbaar is door 7, 11 of 13 desda m zelf dat is.
Met vriendelijke groet,

Guido Terra

P.S. Als je niet van modulo-rekening houdt kan het bewijs ook zonder daar gebruik van te maken geformuleerd worden door op te merken dat n = 1000·q + r = 143·7·q - q + r = 143·q·7 - m, dus n en -m schelen precies een zevenvoud. Voor 11 en 13 gaat het natuurlijk precies zo.

gt
4-4-2005