WisFaq!

Inverse binomiaalcoefficient

De functie n boven k geeft een binomiaalcoeficient terug volgens: n!/(n-k)!k!. Als je nu de coefficient weet en n, hoe kun je dan k bepalen? Dus k in termen van de coefficient en n. Het probleem in dus vooral (n-k)! splitsen in n en k.

Herman van Haagen
2-4-2005

Antwoord

Hallo Herman,

Ik denk niet dat je k kan schrijven in termen van n en C(n,k), toch niet met een kant-en-klare formule. Is het de bedoeling om dit in de praktijk te doen (met een computerprogramma), of ben je toch op zoek naar een wiskundige uitdrukking?

Voor dat programma zou ik het als volgt doen:
- Start met 1
- Doe dit maal (n+1-1=n), gedeeld door 1
- Doe dit maal (n+1-2=n-1), gedeeld door 2
- ...
Dus doe telkens je getal maal n+1-i gedeeld door i, en dit voor i gaande van 1 totdat je uitkomt op je gegeven coefficient.

Voorbeeld: gegeven is n = 6 en C(n,k)=15.
Start met 1. i=1 dus maal 6/1 is 6. i=2 dus 6 maal (6-1)/(1+1) is 15. Besluit: je moest tot i=2 gaan, dus de gezochte k is 2 en inderdaad: C(6,2)=15. (natuurlijk is dan ook C(n,n-k) gelijk aan 15)

Als je het niet op deze manier wil doen, kijk dan naar n!/C(n,k). (dank aan medebeantwoorder hk) Dit is gelijk aan k!(n-k)! Als je nu een gegeven getal kan ontbinden in de vorm a!b! waarbij a+b=n, dan ben je er. Alleen is dat niet zo eenvoudig: neem hetzelfde voorbeeld, dan krijg je k!(n-k)!=6!/15 = 48 = 4!2!

Hoe je die ontbinding in het algemeen moet doen kan ik niet zo meteen zeggen, je zal alleszins moeten ontbinden in priemfactoren. Als een bepaalde priemfactor (zoals hier 5) niet voorkomt, dan weet je al dat a en b kleiner zijn dan 5. Als een factor maar een keer voorkomt (zoals hier 3), dan weet je dat a kleiner is dan 3 en b minstens 3 is en maximum 6. En zo kan je nog wel een aantal eigenschappen verzinnen (factoren 2 zouden ook wel handig kunnen zijn), maar tot een gesloten uitdrukking zal je toch niet komen vrees ik...

Groeten,
Christophe.

Christophe
6-4-2005