WisFaq!

Een derdegraadsfunctie heeft minimaal 1 nulpunt

Hoe kun je aantonen dat elke derdegraads functie minstens 1 nulpunt heeft?

ALG
10-6-2002

Antwoord

f(x) = a.x³ + b.x² + c.x + d kun je ook schrijven als

f(x) = x³. (a + b/x + c/x² + d/x³)

Even een vraagje tussendoor: tóch is er een heel klein verschil tussen deze twee functievoorschriften! Weet je welk? Denk aan het domein.

Als x heel groot genomen wordt, dan kun je de termen b/x en c/x² en d/x³ wel weglaten. Ze zijn vrijwel gelijk aan 0.
Dat betekent dat voor héél grote x je f wel kunt lezen als f(x) = a.x³

Als x enorm negatief wordt geldt precies dezelfde opmerking.

Laat a eens positief zijn. Voor positieve x is a.x³ dan óók positief en dus ligt je grafiek boven de x-as.
Als x echter negatief wordt, dan is a.x³ óók negatief en dus zit je grafiek onder de x-as.
Maar dan moet de grafiek dus ergens door de x-as heen gaan!
(mocht a<0 zijn, dan wisselen positief en negatief om)

P.S. er is toch geen verband tussen de kwaliteit van je wiskunde en je e-mailnaam, hoop ik?

MBL
10-6-2002