WisFaq!

Taylorontwikkeling voor bepalen convergentie

Hallo,

Ik kom niet uit de volgende opgave:

Onderzoek de convergentie van (som loopt van n=1 tot oneindig)

$\sum$¹/_nlnⁿ⁺¹/_n

Ik heb mbv de taylorreeks voor ln(1+x) de taylorreeks voor deze vergelijking bepaalt:

¹/_n(¹/_n-¹/_2n²+¹/_3n³ etc..

Maar hoe kan ik hiervan dan bewijzen dat er sprake is van convergentie of divergentie voor de somfunctie.

Ik heb hier morgen een tentamen over dus alvast bedankt voor de degene die mij verder kan helpen!

Groeten Erik

Erik Schwarte
31-3-2005

Antwoord

Hallo Erik,

Ken je de convergentietesten van d'Alembert en Raabe? Indien ja: die van d'Alembert geeft geen uitsluitsel, die van Raabe wel maar je komt dan wel een vrij lastige limiet uit, die met de hand nog niet zo eenvoudig te berekenen valt.

Maar ik denk dat het sneller kan met de vergelijkingstest:
Je weet dat ln(1+1/n) $<$ 1/n.
Als je dat niet gelooft: neem links en rechts de e-macht, er komt
1 + 1/n $<$ e^1/n
En ontwikkel het rechterlid volgens Taylor, dan merk je meteen dat de ongelijkheid geldt.

Dus $\sum$1/n ln(1+1/n) $<$ $\sum$1/n 1/n = $\sum$ 1/n²
En die laatste is een convergente reeks, zelfs een hele bekende, want dat is $\zeta$(2) en die is juist gelijk aan $\pi$²/6.

Mocht je die $\sum$1/n² niet gezien hebben als convergente reeks, dan kan je deze wel nagaan met de test van d'Alembert (weer geen uitsluitsel) en Raabe (zeer eenvoudige uitrekening geeft nu wel uitsluitsel dat de reeks convergent is).

Groeten en succes met je tentamen,
Christophe.

PS ik heb geprobeerd met die taylorontwikkeling van de ln, maar daarmee kon ik niet meteen verder.

Christophe
31-3-2005