WisFaq!

Bewijs door volledige inductie

Kunnen jullie mij soms helpen met de vraag: Hoe geef je een bewijs door volledige inductie?

Marijke
7-6-2002

Antwoord

Het bewijs door volledige inductie bestaat altijd uit TWEE stappen.

Je begint met een stelling, een of andere wiskundige gelijkheid

1. laat zien dat deze stelling geldt voor n=1;
2. aangenomen dat de stelling geldt voor n, laat dan zien dat hij ook geldig is voor n+1


voorbeeldje:

De stelling luidt: å_i=1ⁱ⁼ⁿ (i) = ½n(n+1)

(ofwel 1 + 2 + 3 + ... + n = ½n(n+1) )

stap 1: laat zien dat de stelling klopt voor n=1:
1 = ½.1.(1+1) ..... KLOPT.

stap 2: als hij klopt voor n, moet hij ook voor n+1 kloppen:

å_i=1ⁱ⁼ⁿ⁺¹ (i) =
å_i=1ⁱ⁼ⁿ (i) + (n+1)
= ½n(n+1) + (n+1)
= ½n² + ½n + n + 1
= ½(n² + 3n + 2)
= ½(n+1)(n+2) = ½(n+1)((n+1)+1)

(waar eerst n'en stonden, staan nou n+1'en)

De zin van de combinatie van deze twee stappen, 1 en 2, is dat als het voor n=1 klopt, 't voor n=2 klopt,... maar als het voor n=2 klopt, dan klopt het voor n=3,.... maar klopt het voor n=3 dan zal het ook voor n=4 kloppen,.... enz, enz enz.
zo klopt het dus voor alle n.

groeten
martijn

Zie vraag 514 [http://www.wisfaq.nl/showrecord3.asp?id=514]

mg
7-6-2002