WisFaq!

Goniometrie algemeen

ik ben nu al een tijdje bezig met het oplossen van dit soort oplossingen, ik heb van de leraar zowel sommen gekregen als:

sin(x)=0.5

sin(3x)=sin(x)

om maar twee voorbeelden te noemen, als je de eerste oplost, dan krijg je pi-waarden, maar nu moet ik dus ook vergelijkingen oplossen zoals de onderste, is het dan gewoon de bedoeling om de x-waarde te berekenen? of moet je het weer net zo noteren als bij die eerste vergelijking( ...pi+ 2kpi of....)

kortom:is de x gewoon een andere manier om een hoek alfa,beta of gamma te omschrijven?

bij voorbaat dank(kunt u misschien een voorbeeld geven van de algebraïsche oplossing van de tweede vergelijking?)

Edwin
20-3-2005

Antwoord

sin(x)=¹/₂
We weten dat de sinus van de hoek ^$\pi$/₆ gelijk is aan ¹/₂
Een vergelijking oplossen wil echter zeggen dat we alle hoeken moeten geven waarvoor geldt dat de sinus gelijk is aan ¹/₂.
Ten eerste weten we dat alle hoeken die een veelvoud van 2$\pi$ (volledige cirkelomtrek) van elkaar verschillen dezelfde goniometrische getallen hebben.
Ten tweede hebben supplementaire hoeken ($\alpha$ en $\pi$-$\alpha$) gelijke sinussen hebben.
Dus kunnen we alle hoeken x noteren als
x = ^$\pi$/₆ + 2k$\pi$ en
x = $\pi$-^$\pi$/₆ + 2k$\pi$ = ^5$\pi$/₆ + 2k$\pi$

sin(3x) = sin(x)
1. Hoeken die een veelvoud van 2$\pi$ van elkaar verschillen hebben dezelfde sinus.
2. Supplementaire hoeken hebben dezelfde sinus.

Dus kunnen we de oplossingen schrijven als :
1. 3x = x + 2k$\pi$
2. 3x = $\pi$-x + 2k$\pi$

Of
1. 2x = 2k$\pi$
2. 4x = $\pi$ + 2k$\pi$

Of nog
1. x = k$\pi$
2. x = ^$\pi$/₄ + k.^$\pi$/₂

LL
20-3-2005