WisFaq!

Re: Abelse groep

Hoi,

vraag1 over orde3:x en y zijn ongelijk aan e dus hun orde is 3.Waarom is y=xx en waarom volgt hieruit dat xy=yx?

vraag2 orde 4: In het tweede geval is de het de groep van Klein.Maar hoe volgt uit xx=yy=zz=e dat ab=ba voor ieder tweetal elementen uit deze groep?

vraag3 orde 5: een element x uit de groep heeft dus orde 5, dus x^5=e.Waarom is de groep cyclisch?

Groetjes,
Viky

viky
18-3-2005

Antwoord

1. De orde van x is drie, dus e, x en x*x zijn allemaal verschillend; hieruit volgt dat G={e,x,x*x} en dus y=x*x. Alle cyclische groepen zijn Abels.
2. Als de groep van Klein herkent dan weet je ook dat die Abels is. In het algemeen geldt ook: als x*x=e voor alle x dan is G Abels. Neem a en b en begin met de gelijkheid e=(ab)², dus e=abab, vermenigvuldig van links met a en van rechts met b en bekijk wat je krijgt.
3. als de orde van x gelijk is aan 5 dan zijn e, x, x², x³, x⁴ allemaal verschillend, dus ze vormen de hele groep en die is daarmee cyklisch met voortbrenger x.

kphart
21-3-2005