WisFaq!

Abelse groep

Hallo wisfaq,

Ik wil graag laten zien dat een groep G van orde = 5 abels is maar ik zie niet hoe ik dat kan laten zien.

Vriendelijke groeten,
Viky

viky
18-3-2005

Antwoord

Wat je moet doen is kijken hoeveel van die groepen er eigenlijk zijn en hoe ze er uit zien.
Orde 1: alleen maar {e}; die is Abels.
Orde 2: alleen maar {e,x}, voor die x geldt x*x=e; de groep is Abels.
Orde 3: {e,x,y}, de orde van x deelt 3, dus de orde is 1 of 3,
maar x is niet e, dus zijn orde is 3 en dus y=x*x. De groep is cyclisch en dus Abels
Orde 4: {e,x,y,z}, de ordes van x, y en z delen 4, dus ze zijn 2 of 4. Als één van de drie orde vier heeft is de groep cyclisch en dus Abels; anders geldt x*x=y*y=z*z=e maar dan is de groep ook Abels.
Orde 5: als bij orde 3: de groep is cyclisch (als x niet e is dan is zijn orde 5 omdat 5 een priemgetal is).

kphart
18-3-2005