WisFaq!

Met welke beginwaarde is er convergentie?

Ik kom steeds niet uit een aantal vraagstukken over de beginwaarde en de covergentie van een rij. Bijvoorbeeld:
De rij U(n+1) = -1/10 Un² + 3Un - 7,5. Er wordt gevraagd om de webgrafiek te tekenen met beginwaarde U1=6 en de dekpunten uit te rekenen. Hier heb ik nog geen problemen mee, maar dan wordt er gevraagd voor welke beginwaarden van U1 de rij convergeert en naar welk limiet. Als antwoordt wordt er gegeven:
Dekpunten: 5 en 15
- voor U1=5 en U1=25 convergeert de rij met limiet 5, dit snap ik want 5 is een van de dekpunten.
- voor 5 U1 25 convergeert de rij met limiet 15, dit antwoordt begrijp ik niet. Wel dat de rij met U1=15 convergeert met dit limiet, aangezien dit een dekpunt is, maar hoe koomen ze bij de andere waarden?

Op welke manier moet je dit soort vraagstukken oplossen?
Alvast bedankt!

Marleen Bezemer
9-3-2005

Antwoord

Om er makkelijker over te kunnen praten definieer ik jouw rij als volgt:
Gegeven f(x)=-1/10x²+3x-7,5.
De rij u_n wordt dan gegeven door u_n+1=f(u_n).

De dekpunten heb je al berekend, maar voor de duidelijkheid: deze vind je door de vergelijking f(x)=x op te lossen:
-1/10x²+3x-7,5=x
-1/10x²+2x-7,5=0
x²-20x+75=0
(x-5)(x-15)=0.
x=5 of x=15.

Hieronder de webgrafiek voor u₁=6



Duidelijk is dat de rij voor u₁=6 convergeert naar het rechterdekpunt.

Nu moeten we gaan onderzoeken voor welke startwaarden de rij convergeert en met welke limiet.
Bekijk eerst eens onderstaande animatie, hierin laten we u₁ allerlei verschillende startwaarden aannemen van 0 tot 30.



Wat we zien is:
voor startwaarden kleiner dan het linkerdekpunt (5) divergeert de rij.
Voor startwaarde 5 heb je een constante rij. De limiet is dan 5.
Voor startwaarden tussen 5 en 15 convergeert de rij naar het rechterdekpunt: 15. De limiet is dan 15.
Voor startwaarde 15 heb je een constante rij, de limiet is dan 15.
Voor startwaarden groter dan 15 ligt het complexer:
Als de startwaarde niet te groot is (bijvoorbeeld 20) dan krijg je een situatie zoals in onderstaande tekening:



Na 1 iteratie kom je tercht in het gedeelte tussen 5 en 15. De rij convergeert met limiet 15.
Op een gegeven moment ontstaat deze situatie:



Na 1 iteratie zit je precies op het linkerdekpunt.
Dit treedt op als u₂=5
Dit gebeurt als u₁ een oplossing is van f(x)=5:
-1/10x²+3x-7,5=5
-1/10x²+3x-7,5=5
-1/10x²+3x-12,5=0
x²-30x+125=0
(x-5)(x-25)=0
x=5 (linkerdekpunt) of x=25!
Dus voor x=25 convergeert de rij naar 5. De limiet is 5.
Kiezen we nu u₁25 dan ontstaat een situatie als deze:



Na 1 iteratie kom je terecht in het gedeelte links van het linkerdekpunt: de rij convergeert dan niet!

hk
10-3-2005