WisFaq!

Monische irreducibele polynomen

Hallo wisfaq,

Ik wil laten zien dat er [(p^2)+p]/2 monische polynomen bestaan van graad 2 in F_p[x] (F_p=Z/pZ, Z de gehele getallen) die reducibel zijn.En dan concluderen dat
x_2=[(p^2)+p]/2 en x_3 wil ik op soortgelijke wijze bepalen.
Ik denk dat ik de volgende stelling hierbij kan gebruiken:
Voor een priemgetal p en n=1 geldt in F_p[x] de relatie
(x^(p^n))-x=PRODUCT[f], met f monisch irr en deg(f) deelt n.In het bijzonder voldoet het aantal x_d van monische irreducibele polynomen van graad d in F_p[x] aan de identiteit SOM[d*x_d]=p^n, de som gaat over alle d die n delen.

Groeten,
Viky

viky
9-3-2005

Antwoord

Een tweedegraads polynoom is reducibel dan en slechts dan als het te schrijven is als (X-a)(X-b) met a,b in F; er zijn dus net zo veel reducibele polynomen als er paren elementen van F zijn met ab. Dat zijn er p voor a=0, p-1 voor a=1, p-2 voor a=2, ..., 1 voor a=p-1; dus in totaal 1+2+...+p=p(p+1)/2.

kphart
10-3-2005