WisFaq!

Integratie door substitutie

Ik heb een problemen met het berekenen van sommige integralen zoals
Bv:
* ò dx/ lnx^x
Ik loste het als volgt op: ln| lnx^x| +c
Fout dus.
Hoe komt men aan de (juiste) uitkomst = ln| lnx| +c ?


** [ 0 - p] òxsinxcos⁴x dx
Als tip kregen we erbij: x=p – u
Ik weet helemaal niet hoe ik dít zou moeten uitwerken?

Kan iemand me verder helpen en aantonen hoe ik deze bovenstaande integralen kan berekenen aub?

Alvast bedankt voor jullie hulp!

hilde
7-3-2005

Antwoord

*
Vervang ln(x^x) door x×ln(x) en je krijgt òdx/(x×ln(x).
Neem nu de substitutie: u=ln(x), du=1/x×dx en je krijgt òdu/u.

**
Ik denk aan partieel primitiveren.
In sin(x)cos⁴x herken ik de afgeleide van -¹/₅cos⁵(x), zodat we krijgen:
-¹/₅xcos⁵(x)+¹/₅òcos⁵xdx.
Nu òcos⁵x
Weer partieel primitiveren levert:
òcos(x)cos⁴(x)dx=sin(x)cos⁴(x)+òsin(x)*4sin(x)cos³(x)dx=
sin(x)cos⁴(x)+ò4sin²xcos³(x)dx=
sin(x)cos⁴(x)+4ò(1-cos²(x))cos³(x)dx
sin(x)cos⁴(x)+4òcos³(x)-4òcos⁵(x)dx.
Dus
5òcos(x)cos⁴(x)dx=sin(x)cos⁴(x)+4òcos³(x), dus
òcos(x)cos⁴(x)dx=1/5sin(x)cos⁴(x)+4/5òcos³(x).
Deze laatste kun je bepalen door te schrijven cos³(x)=(1-sin²(x))cos(x)=cos(x)-cos(x)sin²(x).
Dan nog even alles bij elkaar rapen.
Succes.

hk
7-3-2005