WisFaq!

Enkele typische integrandi ? (onbepaalde)

Beste Wisfaq,

Ik heb een heel pak oefeningen gemaakt omtrent integratie (ivm substitutie,partiële integratie,...). Hierbij merkte ik op dat ik steeds opnieuw met dezelfde problemen werd geconfronteerd; bij oefeningen van dezelfde aard maak ik wellicht steeds maar opnieuw dezelfde fouten. Helaas weet ik niet wat ik precies verkeerd doe en dat is behoorlijk frustrerend. Vandaar dacht ik bij mezelf dat het misschien verstandig was raad te vragen aan redder-in-nood-Wisfaq!

Laat ik maar even beginnen met het aantonen met welke type oefeningen ik precies problemen heb:

1.
ò dx/(4x²+x+2)

Aangezien de discriminant van de noemer negatief is kan deze niet gesplitst worden in partieelbreuken.
Ik schreef vervolgens de noemer dan als:
(2x + 1/4)² + 31/16
Ik dacht hierin in een vorm van Bgtan te herkennen:

de integraal schreef ik dan als:
16/Ö31 ò dx/ [(2x+ 1/4)² + 1]

Maar dan? 16/ Ö31 Bgtan (2x + 1/4)

Helaas blijkt dat een foutief antwoord te zijn. De juiste oplosisng blijkt

2/Ö31 Bgtan [(8x+1)/Ö31] + c


2.
òln²x dx

Ik heb gemerkt dat ik met dergelijke oefeningen steeds met mijn kop tegen de muur loop.
Ik weet echt niet hoe ik dit zou moeten aanpakken? Ik heb er al mijn hoofd op gebroken hoe ik het juiste resultaat zou kunnen bekomen...

Het juiste antwoord blijkt
x(ln²x -2lnx + 2)+ c te zijn


3.
òBgtanz dz

Ik dacht in eerste instantie dat ik het eenvoudigweg kon oplossen als
= 1/ 1+x²

Dit bleek algauw mooi mis!

De juiste oplossing is:
zBgtanz - (1/2)ln(1+z²)+c


Zouden jullie zo vriendelijk willen zijn me terug op het juiste spoor te brengen aub?

Dank bij voorbaat...

Vele vriendelijke groetjes

Veerle
7-3-2005

Antwoord

Bij nummer 1) vergeet je het volgende:
De noemer (2x + 1/4)² + 31/16 wil je in de vorm (..)²+1 brengen.
Je krijgt dan: 31/16(16/31(2x+1/4)²+1)=31/16((4/Ö31(2x+1/4))²+1)=31/16((8x+1)/Ö31)²+1).
Je integraal wordt dan
16/31òdx/((8x+1)/Ö31)²+1).
Nu kies je de substitutie u=(8x+1)/Ö31.
du=8/Ö31dx, zodat je krijgt:
16/31*Ö31/8òdu/(u²+1)=2/Ö31arctan(u)

Voor nummer 2: zie: Integraal

Bij nummer 3 pas je partieel primitiveren toe:
òarctan(z)dz=ò1×arctan(z)=z×arctan(z)-òz×1/(z²+1)dz=
z×arctan(z)-òz×/(z²+1)dz, en dan zie ik het antwoord al schemeren, jij ook?

hk
7-3-2005