WisFaq!

Hoogte van een cilinder met maximaal volume

Ik heb een vraagstuk waar ik geen antwoord op kan vinden :
Bepaal de hoogte van een cilinder met maximaal volume, ingeschreven in een bol met straal 30 cm.

pauwel
2-6-2002

Antwoord

Als de straal van de cilinder r heet en de hoogte h, dan geldt volgens Pythagoras (2r)² + h² = 60².
Uitgewerkt geeft dat 4r² + h² = 3600 (*)

De inhoud van de cilinder is: I = p.r².h
Deze functie moet je vervolgens maximaliseren.
Daarvoor is het absoluut noodzakelijk dat er nog maar één variabele in voorkomt; of het nou de r of de h is doet niet terzake.
Uit de formule met het sterretje maak je nu de r² vrij.
Dat levert op: r² = 900 - ¼.h²
(je maakt niet de h² vrij omdat er in de formule voor de inhoud geen h² maar slechts h voorkomt).
Vul dit nu in je inhoudsformule in:

I = p.(900 - ¼.h²).h ofwel I = p(900h - ¼h³)

Het stukje tussen de haakjes is een derdegraads functievoorschrift, waarvan je nu het maximum moet bepalen. Dat kan je doen met de techniek van het differentiëren, of je voert de formule in een grafische rekenmachine in en laat de techniek het werk voor je doen.
Bedenk wel dat h uiteraard positief moet zijn, maar ook kleiner dan 60 (anders is de cilinder groter dan de bol!)
Ik vond een maximum bij h = 34,6

MBL
2-6-2002