WisFaq!

Logaritme

Eej wisfaq
Zouden jullie me kunnen helpen met de volgende opgave, want heb al vanalles geprobeerd:

Er is gegeven dat P en Q strikt positieve getallen zijn en ik moet het volgende bewijzen:

log_ab (P.Q) = (log_a P+log_a Q+log_b P+log_b Q)¸(log_a a+log_a b+log_b a+log_b b)

Alvast bedankt!!!
Groetjes Rob

Rob
6-3-2005

Antwoord

Hallo Rob,

Je moet beginnen met het rechterlid uit te werken.
Aangezien er zowel in teller als noemer een aantal logaritmen zijn met hetzelfde grondtal, kan je die al tezamen nemen.
nl. log_aP+log_aQ = log_a(P.Q)

Dan heb je al dat het rechterlid gelijk wordt aan:

[log_a(P.Q)+log_b(P.Q)]/[log_a(a.b)+log_b(a.b)]

Aangezien je nu werkt met verschillende grondtallen, kan je best alles omzetten naar eenzelfde grondtal. Je hebt hier de vrije kueze, je kan alles omzetten naar grondtal a,b of zelfs a.b maar ook elk ander positief reëel getal verschillend van 0 en 1.
vb. Alles naar a.b (dan moet je het linkerlid niet omvormen, of op het einde niet opnieuw overgaan naar log_ab).

Gebruik hiervoor de rekenregel log_AB = log_C(B)/log_C(A).

vb. teller= log_ab(PQ)/log_ab(a)+log_ab(P.Q)/log_ab(b)
= [log_ab(P.Q)(log_ab(b)+log_ab(a))]/[log_ab(a)log_ab(b)]
= [log_ab(P.Q)log_ab(ab)]/[log_ab(a)log_ab(b)]

Noemer uitwerken, vereenvoudigen (hou rekening met log_A(A)=1) en je bent er.

Je kan echter ook vertrekken van het linkerlid.
Het is vrij eenvoudig aan te tonen dat
log_ab(P.Q)=[log_a(P)+log_a(Q)]/[log_a(a)+log_a(b)]
en ook dat
log_ab(P.Q)=[log_b(P)+log_b(Q)]/[log_b(a)+log_b(b)]

Uit deze twee gelijkheden en het feit dat
{als A/B = C/D dan is ook [A+C]/[B+D]=A/B}
haal je het gestelde.

Mvg, Els

Els
7-3-2005