WisFaq!

Ondergroepen van cyclische groep

Hallo wisfaq,

Zij G een cyclische groep van orde n.Ik wil graag bewijzen dat G voor iedere deler d van n precies één ondergroep van van orde d bevat.

Vriendelijke groeten,
Viky

viky
6-3-2005

Antwoord

Kijk eerst eens naar een speciaal geval, bijvoorbeeld n=12.
De elementen van G zijn a,a²,a³,a⁴,a⁵,...,a¹¹,e(=a¹²).
Ondergroepen:
{e), orde 1;
(a⁶,e}, orde 2;
(a⁴,a⁸,e}, orde 3; dit is {b,b²,e} met b=a⁴ of b=a⁸;
{a³,a⁶,a⁹,e}, orde 4; dit is {b,b²,b³,e} met b=a³ of b=a⁹;
{a²,a⁴,a⁶,a⁸,a¹⁰,e}, orde 6; dit is (b,b²,b³,b⁴,b⁵,e} met b=a² of b=a¹⁰;
G, orde 12; dit is {b,b²,b³,..,b¹¹,e} met b=a of b=a⁵ of b=a⁷ of b=a¹¹.

Probeer dit nu te generaliseren:
Stel d is een deler van n.
Dan is er minstens een ondergroep van orde d, namelijk de ondergroep D voortgebracht door a^n/d.
Bekijk nu een willekeurige ondergroep D' van orde d. Die moet dan worden voortgebracht door een element b van orde d, dus bestaan uit b,b²,..b^d-1 en e. Omdat bÎG is b=a^k voor zekere kÎ(1,..n-1}.
Dan moet het zo zijn dat k,2k,..(d-1)k geen veelvouden zijn van n, maar dk wel, dus dk is het kgv van k en n; dan is de ggd van k en n gelijk aan n/d, want kn=ggd(k,n)*kgv(k,n).
Dus n/d deelt k, en dan is b een element van de ondergroep D voortgebracht door a^n/d.
Hieruit volgt dat D'ÍD. Omdat ze allebei orde d hebben, volgt D=D'.

hr
7-3-2005