WisFaq!

Vergelijking van een rechte

halo, ik heb een probleem:
in het boek van basis tot limiet5 (ruimtemeetkunde) bij vergelijking van een rechte, legt men uit hoe men aan de carthesische vergelijking komt.
Nu, men krijgt bij de voorbeelden telkens zo'n vergelijking

a= 2x-y=1
y+2z=3

nu bij de oefeningen staat er een vergelijking met x,y,z
het probleem is dat ik niet goed snap hoe men aan het stelsel

a= U1x+V1y+W1z+T1=0
U2x+V2y+W2z+T2=0

dat snap ik niet want bij de voorbeelden is zijn de stelsels telkens 3 vergelijkingen

help!, bedankt, winny

winny
6-3-2005

Antwoord

De vergelijking van een rechte in de ruimte bestaat eigenlijk niet, wel de vergelijking van een vlak in de ruilmte.

Zoals
aÛa.x + b.y + c = 0
de vergelijking is van een rechte in een vlak (vlakke meetkunde),
zo is
aÛu.x + v.y + w.z + t = 0
de vergelijking van een vlak in de ruimte.
Er komt een term in z bij, die de derde dimensie vertegenwoordigt.

Een rechte in de ruimte wordt beschouwd als een snijding van twee vlakken, dus als de verzameling van de punten die tot de twee vlakken behoren.
Vandaar dat de vergelijking van een rechte overeenkomt met een stelsel van twee vergelijkingen van twee vlakken.

Bijvoorbeeld
aÛx - y - z = -1 Ù x - 2y - 3z = -4
is de rechte die de snijding is van de twee vlakken
aÛx - y - z = -1 (1) en
bÛx - 2y - 3z = -4 (2)

Je eerste vergelijking verkrijgt men door uit deze twee vergelijkingen eerst z te elimineren, en vervolgens x te elimineren.
Vergelijking (1) vermenigvuldigd met 3 en (2) met -1 geeft 2x - y = 1
Vergelijking (1) vermenigvuldigd met 1 en (2) met -1 geeft y + 2z = 3
Dus kan de vergelijking ook geschreven worden als
aÛ2x - y = 1 Ù y + 2z = 3
Het voordeel van deze vereenvoudiging is bijvoorbeeld dat onmiddellijk een richtingsvector kan afgelezen worden, namelijk r(1,2,-1)

LL
6-3-2005