WisFaq!

Differentiaalvergelijkingen

goedemiddag,

Mijn vraag is als volgt:

Ik heb de ruimte c^0 ([-1,1]) van continue functies van [-1,1] naar R, voorzien van de norm, ||f||1=int vab -1 naar 1 |f(x)| dx

Ik moet aantonen dat ||.||1 inderdaad een norm definieert, hoe doe ik dat??

vervoglens moet ik aantonen dat C^0([-1,1]) met de gegeven norm niet volledig is??

Groeten

Stevie
28-2-2005

Antwoord

Je moet de eisen van `norm' verifieren, dus nagaan dat altijd geldt
norm(f)0
norm(cf)=|c|norm(f) (als c een constante is)
norm(f+g)norm(f)+norm(g)
al die dingen volgen door telkens op te schrijven wat de norm is en dan verder te werken
bijvoorbeeld: norm(f)=int(|f(x)|,x=-1..1), dit is groter dan of gelijk aan nul omdat je een niet-negatieve functie integreerd
voor de tweede eis moet je |c| buiten de integraal halen
de derde volgt omdat |f(x)+g(x)||f(x)|+|g(x)| voor alle x
Tenslotte moet je ook nog laten zien: als norm(f)=0 dan is f de nulfunctie; dat gaat door contrapositie: als f niet de nulfunctie is dan geldt norm(f)0. Kies een x met f(x) niet-nul (dus |f(x)|0)), wegens de continuïteit is er een intervalletje (p,q) om x waarop |f(y)||f(x)|/2 geldt (teken een plaatje). Hiermee kun je laten zien dat de integraal van |f(x)| groter is dan (q-p)*|f(x)|/2 en dat is zelf groter dan 0.

kphart
2-3-2005