WisFaq!

Re: Cyclische groep

Hoi Christophe,

Ik heb nog wat vraagjes:
vraag1.Als h modulus verschillend van 1 heeft,...
Modulus wat bekijk je h?
vraag2.Elk element a+bi is een machtswortel van 1.Dit begrijp ik niet goed.
vraag3.Waarom is nm/ggd(n,m)=kgv(n,m)?
vraag4.Ik begrijp niet waarom e^(2pi*i/t) met t= kgv, het voorbrengende element is.
vraag5.Ik weet niet hoe ik met inductie moet aantonen dat voor elk tweetal elementen dat er zo'n kgv bestaat.

Groetjes,
Viky

viky
27-2-2005

Antwoord

1. ModulUS, niet modulO... De modulus van een complex getal is de afstand tot de oorsprong. Het is de r als je werkt met de voorstelling re^i$\theta$ of met r(cos$\theta$+isin$\theta$). Als je met cartesische coördinaten a+bi werkt is de modulus gelijk aan √(a²+b²).

2. In de eerste paragraaf heb ik gezegd dat elk element van de groep modulus=1 moet hebben, dus op de eenheidscirkel ligt. In de tweede paragraaf merk ik op dat elk element eindige orde moet hebben (anders heb je oneindig veel elementen in je groep: h, h², h³,...). Het feit dat elk element eindige orde heeft, betekent dat voor elke h uit H, er een n bestaat zodat hⁿ=1. In woorden betekent dit laatste dat h een n'de machtswortel is van 1.

3. Dat is één van de basiseigenschappen van ggd en kgv... Het bewijs ervan is simpel: als m = $\prod$p_i^m_i en n = $\prod$p_i^n_i de priemontbindingen van m en n zijn, dan is
ggd(n,m) = $\prod$p_i^max{n_i,m_i}
kgv(n,m) = $\prod$p_i^min{n_i,m_i}
ggd(n,m)ˇkgv(n,m) = $\prod$p_i^{max{n_i,m_i}+min{n_i,m_i}}
nm = $\prod$p_i^m_i+n_i
en vermits max{n_i,m_i}+min{n_i,m_i} = m_i+n_i is de gelijkheid bewezen...

4. Ik was vertrokken van twee elementen a en b, nu kan je nagaan dat a en b machten zijn van die e^2$\pi$i/t, dus dat dat element de elementen a en b voortbrengt.

5. Kies twee elementen a en b uit H, construeer daaruit dat voortbrengend element (noem het v). Kies dan weer een element c dat niet voortgebracht wordt door v (dus dat geen macht is van v), pas dan die kgv-truc toe op c en v, zo krijg je w. Herhaal dit procédé een eindig aantal keren (H is immers een eindige groep!), uiteindelijk kom je op een element z uit dat een voortbrenger is van elk element van je groep.

Om een voorbeeld te geven: a = e^5ˇ2$\pi$i/7 en b = e^2$\pi$i/5, dan wordt v = e^2$\pi$i/35. Stel dat c = e^2$\pi$i/15 ook in H zit, c wordt niet voortgebracht door v, de berekening zal je dan w = e^2$\pi$i/105 geven, enzovoort...

Groetjes,
Christophe.

Christophe
27-2-2005