WisFaq!

Re: Kettinglijn op verschillende hoogtes

Hoi,
ik heb nog een vraagje. Ik ben druk bezig met mijn profielwerkstuk en nu moet ik de formule van de kettinglijn onderzoeken. Nu dacht ik eerst aan een parabool maar het blijkt ietsje ingewikkelder te liggen. Ik kan de formule echter nergens vinden...
Als jullie m weten kunnen jullie m me dan vertellen?
Groetjes, Jaap

jaap
25-2-2005

Antwoord

Hallo Jaap,
Nee, het is inderdaad geen parabool. Dat was al bekend in de 17e eeuw. Onze landgenoot Christiaan Huygens heeft die formule al gevonden.
De algemene formule voor de kettinglijn is:
f(x) = a + (1/c)cosh(c(x - m))
Hierin is cosh de zg cosinus hyperbolicus, die gedefinieerd wordt door: cosh(x) =(exp(x) + exp(-x))/2,
( en exp(x) is natuurlijk de gewone exponentiele functie, e tot de macht x)
De ketting hangt het laagst bij x =m.
Verder is het interessant te weten dat de lengte van de ketting tussen x=m en x=k gelijk is aan :
(1/c)sinh (c(k-m)) met sinh , de hyperbolische sinus (sinus hyperbolicus op zondag) die gegeven wordt door sinh(x) = (exp(x) - exp(-x))/2.
Deze zg hyperbolische functies hebben allerlei eigenschappen die lijken op de eigenschappen van de bekende cos en sin, bv sinh' = cosh en cosh' =sinh.
En ook belangrijk: cosh(x)² - sinh(x)² = 1.
Hieruit volgt dat x = cosh(t), y = sinh(t) de parameter voorstelling is van de hyperbool y² - x² = 1 (net zo als x = cos (t) , y = sin(t) een cirkel geeft) Vandaar de naam hyperbolisch.
De hyperbolische functies zijn op de meeste reken apparaatjes aanwezig.
Hoe de formule voor de kettinglijn kan worden afgeleid is iets lastiger, maar niet super moeilijk. Je moet daarvoor een differentiaalvergelijking opstellen.
Zoek ook maar eens onder "catenary" op de bekende wiskundesites.
succes ermee

JCS
27-2-2005