WisFaq!

Taylorreeks

Ik moet de taylorreeks van f(x)= 1/(1-x) afleiden, maar ik heb alles al geprobeerd en ik kom er niet uit, kunt u mij helpen?

jan-tiemen hakvoort
23-2-2005

Antwoord

Door een staartdeling of door toepassing van de somformule van een meetkundige rij kun je eenvoudig afleiden: 1/(1-x)=1+x+x²+x³+x⁴+x⁵+.......
Nu anders: schrijf 1/(1-x) als a₀+a₁·x+a₂·x²+a₃·x³+....... (met Taylor)
Talorontwikkeling rond x=0 zegt:
a₀=f(0)=1/(1-0)=1
a₁=f'(0)/1!. f'(x)=1·(1-x)^-2 $\Rightarrow$ f'(0)=1
a₂=f'(0)/2!. f'(x)=1·2·(1-x)^-3 $\Rightarrow$ f'(0)=2 en dus a₂=1
a₃=f⁽³⁾(0)/3!. f⁽³⁾x=1·2·3·(1-x)^-4 $\Rightarrow$ f⁽³⁾(0)=6 en dus a₃=1
En zo gaat dat maar door, zodat alle coëfficiënten 1 worden.
Dus krijg je ook zo dat 1/(1-x)=1+1·x+1·x²+1·x³+1·x⁴+1·x⁵+.........

Klaar!

Met vriendelijke groet
JaDeX

jadex
23-2-2005