WisFaq!

Re: Lichaamsuitbreiding

Hoi,

Waarom is K(a^2) het kleinste lichaam waar K en a^2 in zitten, en wat betekent dit precies?

K(a) is een lichaam...,dus...Ik begrijp niet wat ik nu moet concluderen.

Omdat a een nulpunt is van x^2-a^2 is [K(a):K(a^2)] gelijk aan 1 of 2.Waarom is dit zo?Heeft dit misschien te maken met de volgende stelling:
Als a algebraisch is over K, dan is er een uniek monisch irreducibel polynoom f in K[x] dat a als nulpunt heeft.Er is een homomorfisme K[x]/(f)-K[a]=K(a) en de graad
[K(a):K]=deg(f).

Groeten,
Viky

viky
22-2-2005

Antwoord

In het algemeen staat K(a) voor de uitbreiding van het lichaam K door daar a aan toe te voegen (en zo zuinig mogelijk te doen, dus niets toevoegen dat niet echt hoeft), in die zin is K(a) lichaam waar K en A in zitten.
Nu hebben we K, a en a^2; a^2 zit in het lichaam K(a) want a zit daarin en dus z'n kwadraat ook. Alles wat we met behulp van de lichaamsoperaties uit K en a^2 maken (en dat is precies wat in K(a^2) zit) zit dan ook in K(a).
Je tweede opmerking is juist: a is algebraisch over K(a^2) en nulpunt van het polynoom x^2-a^2 over K(a^2), z'n mimimale polynoom is dan een deler van x^2-a^2 en dus van graad 1 of 2.

kphart
2-3-2005