WisFaq!

Verwachtingswaarde functie

Hallo,

Ik zoek de verwachtingswaarde van de functie E(f(Z)), waarbij Z een stochast met een normale (m,s^2)-verdeling.
Stel dat f(Z) = (a * e^Z - b), dan geldt volgens mij
E(f(Z)) = a * e^(m+ ¹/₂s^2) - b.
Dat kan ik nog volgen.

Maar nu f(Z)= (a * e^Z - b)^+. (Hier wordt mee bedoelt dat elke functiewaarde onder nul in nul zelf verandert)
Het antwoord is nu:
E(f(Z)) = a * e^(m+ ¹/₂s^2)* Phi( {log(a/b)+m+s^2} / s) - b * Phi( {log(a/b)+m} / s).
Ik snap totaal niet hoe men aan dit antwoord antwoord komt. Ik weet wel dat ik iets moet doen met de dichtheid van Z (zeg g(Z) ). E(f(Z)) = ò$ f(Z) g(Z) dZ, maar ik kom er gewoon niet uit.

Tot nu toe hebben jullie me al een boel geholpen, ik hoop dat dat weer lukt.
Bij voorbaat dank
Daan

Daan
22-2-2005

Antwoord

Daan,
exp(x)=e^x: aexp(x)-b0 voor xln(b/a) met b/a0.
E(exp(x))=1/(sÖ2p)òexp(x-(x-m)²/2s²dx. De integraal loopt van ln(b/a) naar ¥. Stel (x-m)/s-s=t.Dan is
-¹/₂t²=x-m-¹/₂s²-(x-m)²/2s² en dx=sdt.De integraal wordt nu
1/Ö2pexp(m+¹/₂s²)òexp(-¹/₂t²)dt, wwarbij de integraal loopt van (ln(b/a)-m-s²)/s
naar ¥. Wegens de symmetrie kunnen we de grenzen ook nemen van -¥naar -(ln(b/a)-m-s²)/s=
(ln(a/b)+m+s²)/s.En dit geeft de functiej.De tweede integraal is eenvoudiger maar gaat analoog.
Zo duidelijk, hoop ik.

kn
22-2-2005