WisFaq!

Een handige truuk!

Hoe kan je de primitieve f(x)=(x²-4x-5)² bepalen met behulp
van de kettingregel, en zijn er ook ander manieren?

Peter
29-5-2002

Antwoord

Rechtstreeks kan het niet, tenzij je een trucje gebruikt. Maar dat moet je dan wel nét zien.

Het simpelst is hier natuurlijk de uitwerking van de haakjes; het is uiteindelijk maar een kwadratische vorm.

Eerst even over de onmogelijkheid om het rechtstreeks te doen.
Je denkt natuurlijk aan een primitieve die de vorm (x²-4x-5)³ bevat.
Als je dit echter differentieert, dan kun je de exponent 3 wel neutraliseren met het getal 1/3, maar de kettingregel geeft dan óók nog de factor (2x-4), en die kun je niet wegmoffelen met een breuk van de vorm 1/(2x-4)!
Zie je eigenlijk in waaróm dat niet kan?

Dan nu met het trucje: schrijf de functie als volgt:

f(x) = ((x-2)²-9)² ofwel als

f(x)=(x-2)⁴ - 18(x-2)² + 81.

Hoe kom je daar nu op?, zul je je afvragen.
Wel, tussen de haakjes zie je staan x²-4x en dat doet je dan misschien denken aan het kwadraat van (x-2).

Het probleem is daarmee opgelost: omdat de afgeleide van (x-2) simpel gelijk is aan 1, kun je nu probleemloos integreren; de kettingregel gooit geen roet meer in het eten, tenzij je dat getal 1 roet wilt noemen.

Dus het stukje (x-2)⁴ wordt dan 1/5.(x-2)⁵ enz.

Dit soort grappen heeft natuurlijk alleen maar zin als je het toevallig ziet én het moet niet boven het kwadraat uitstijgen. Als je oorspronkelijke functie tot bijv. de macht 5 moest worden genomen, dan zou ook deze truc niet meer probleemloos werken.
Integreren: steeds weer uitdagend en soms gewoon hartstikke trucmatig!

MBL
29-5-2002