WisFaq!

Lichaamsuitbreiding

Hallo wisfaq,

Zij K bevat in K(a) een uitbreiding van oneven graad.Ik wil bewijzen dat K(a^2)=K(a).Ik heb zelf het volgende:
K is bevat in K(a) is een lichaamsuitbreiding.Als a in K(a) dan ook a^2 in K(a).Nu kan ik volgens mij hier niet direct uit concluderen dat K(a^2) bevat is in K(a).Want dit wil ik aantonen maar ik weet niet hoe ik dat moet doen.
Ik neem even aan dat K(a^2) bevat is in K(a).We hebben dan de volgende toren van lichamen:
K bevat in K(a^2) bevat in K(a).Nu geldt dat:
[K(a):K]=[K(a):K(a^2)][K(a^2):K]
oneven = oneven * oneven
Volgens mij geldt nu dat als a^2 in K(a), dan is K(a^2) bevat in K(a) een lichaamsuitbreiding van graad 1.Waarom is dit zo?
En als K(a^2) bevat in K(a) een lichaamsuitbreiding van graad 1 dan geldt K(a^2)=K(a)?

Vriendelijke groeten,
Viky

viky
20-2-2005

Antwoord

Hint voor de eerste vraag: K(a²) is het kleinste lichaam waar K en a² in zitten en K(a) is een lichaam waar K en a in zitten, dus ...
Wat het tweede deel betreft: je bent een eind op weg. Omdat a een nulpunt is van X²-a² (een tweedegraadspolynoom over K(a²)) is de graad van K(a) over K(a²) gelijk aan 1 of 2; omdat 2 niet kan moet het 1 zijn. Maar een uitbreiding van graad 1 is geen uitbreiding: als a nulpunt is van a_1X+a_0 (met a_1,a_0 in K(a²)), dan geldt a=-a_0/a_1 en dus zit a al in het lichaam K(a²).

kphart
22-2-2005