WisFaq!

Getallen

15=7+8. ; elk getal kun je als som van 2 of meer opvolgende natuurlijke getallen schrijven .1+2+3+ ... +10=55 enzovoort .
MAAR bij machten van 2 lukt dat niet ! 2; 4; 8 ; enz Waarom kan dat niet ???

Hans Verdonk
19-2-2005

Antwoord

Hallo,
Leuke vraag wel...

Allereerst kan je vrij snel een methode vinden om zo een som te maken in de gevallen dat het wel lukt, immers:
- voor oneven getallen (2n+1) volstaan n en n+1
- voor even getallen die een oneven factor bevatten (die zijn dus van de vorm 2^km met m oneven), kan je de m opeenvolgende termen met middelste waarde 2^k opschrijven. Bijvoorbeeld: 56 = 8*7, dus schrijf 7 termen met middelste waarde 8, dat is dus 5,6,7,8,9,10,11. De som daarvan is 7*8=56. Het kan zijn dat je te maken krijgt met negatieve termen, maar die kan je dan schrappen, bv 18 = 2*9, dus schrijf de termen -2,-1,0,1,2,3,4,5,6 en schrap dan die eerste vijf termen (som is toch nul), zodat je 3+4+5+6 overhoudt.

Rest nog de vraag: waarom kan het in de overblijvende gevallen niet, dus dat zijn enkel nog de machten van 2. Ik zou het bewijs zo aanpakken:
- stel dat het lukt met 2 termen, dus een even en een oneven, som is oneven dus dat gaat nooit.
- met 3 termen: de som van drie opeenvolgende getallen is gelijk aan 3 maal het middelste getal, dus is een drievoud, dat kan dus niet.
- analoog toon je aan dat het nooit kan met eender welk oneven aantal termen.
- ook de som van 6 opeenvolgende getallen kan je schrijven als twee keer de som van drie opeenvolgende getallen, dus is altijd een drievoud.
- analoog: als je de som hebt van m termen, en m is deelbaar door een oneven getal, dan zal die som ook altijd deelbaar zijn door dat oneven getal, en zo kan je dus nooit een macht van 2 bereiken.
- we moeten dus op zoek naar 2^k opeenvolgende getallen, met k1 en met som 2^m. Logischerwijs is mk. Het gemiddelde van die getallen is dan natuurlijk 2^m/2^k = 2^m-k is een natuurlijk getal. Maar het gemiddelde van een even aantal (zeg 2t) opeenvolgende getallen, is altijd gelijk aan het gemiddelde van het t'de en het (t+1)'de getal, dus is het gemiddelde van twee opeenvolgende getallen en is dus geen natuurlijk getal.

Hiermee is elke mogelijkheid uitgesloten om een macht van 2 te schrijven als som van opeenvolgende natuurlijke getallen.

Groeten,
Christophe.

Christophe
19-2-2005