WisFaq!

Orde van een element

Hallo wisfaq,

Zij X=Z is de verzameling van gehele getallen, en laat s,t in S(X) gegeven worden door respectievelijk s(x)=-x en t(x)=1-x voor x in Z.Ik denk dat hier de identiteit gelijk is aan x.Dan hebben s en t orde 2 want:
s((s(x))=s(-x)=x en t(t(x))=t(1-x)=x.
Ik wil graag aantonen dat st en ts oneindige orde hebben.Ik weet dat de orde van een element a in een groep G het kleinste positieve getal n is waarvoor a^n=e, e is de identiteit.Bestaat zo een n niet, dan is de orde van a oneindig.Ik denk dat ik hier dus aan moet tonen dat zo'n n niet bestaat.Als ik machten van st en ts bereken zie ik het volgende,

st(x)=s(1-x)=x-1
st(st(x))=x-2
st^3=x-3 etc., dus (st)^n(x)=x-n is ongelijk x voor alle n ongelijk 0.Maar volgens mij moet ik met inductie aantonen dat dit ook echt waar is voor alle n maar ik begrijp niet hoe ik dat moet doen.
En (ts)^n(x)=n+x is ongelijk aan x.

Groeten,
Viky

viky
18-2-2005

Antwoord

Je bent er bijna: de basis van de inductie is er al: (st)^1(x)=(st)(x)=x-1. De inductiestap gaat als volgt: stel (st)^n(x)=x-n voor alle x; dan geldt (st)^(n+1)(x)=(st)((st)^n(x))=(st)^n(x)-1=x-n-1=x-(n+1) (voor alle n).
Voor (ts)^n gaat het bijna net zo.

kphart
18-2-2005