WisFaq!

Ingeschreven cirkel

Hoi hoi,

Wat is nou precies een ingeschreven cirkel? Ik moet bewijzen dat het snijpunt van de drie deellijnen van een willekeurige driehoek ABC het middelpunt is van die cirkel. Maar wat is die cirkel nou en wat is er zo bijzonder aan?

Groetjes

Freeke
27-5-2002

Antwoord

Een ingeschreven cirkel van een driehoek is een cirkel die precies raakt aan de drie zijden van die driehoek.
Dat is dus wat hem zo bijzonder maakt. Deze cirkel is de tegenhanger van de zogenaamde omgeschreven cirkel, dat is de cirkel die precies door de drie hoekpunten van de driehoek gaat.

Om het middelpunt van de ingeschreven cirkel te localiseren moet je het volgende weten.
Als je van een willekeurige hoek de bissectrice trekt (ook wel hoekdeellijn genoemd), dan heeft een punt van die bissectrice gelijke afstanden tot de benen van de hoek.

Trek nu in je driehoek ABC eens de bissectrices van twee hoeken, laten we zeggen van ÐA en van ÐB.
Deze snijden elkaar ergens in een punt dat men meestal I noemt.
Omdat I op de bissectrice van ÐA ligt, heeft I gelijke afstand tot de zijden AB en AC.
Maar omdat I óók op de bissectrice van Ð B ligt is de afstand van I tot de zijden BA en BC ook gelijk.
Maar dan is de afstand van I tot alle drie de zijden gelijk!
Als je dan je passerpunt in I zet en je maakt een cirkel die raakt aan AB dan zal die cirkel dus ook raken aan BC en aan AC.
Daarmee is de Ingeschreven cirkel dus geconstrueerd!
Weet je trouwens nog waar het middelpunt van de Omgeschreven cirkel te vinden is?

MBL
27-5-2002