WisFaq!

Zwaartepunten vormen parallellogram

Zij ABCD een parallellogram en P een willekeurig punt in de ruimte. Bewijs dat de zwaartepunten van de viervlakken PABC,PBCD,PCDA,PDAB de hoekpunten zijn van een parallellogram.

thanks

giovanni armani
16-2-2005

Antwoord

Hallo, Giovanni.
Je moet aantonen dat Z1Z2 evenwijdig is aan Z3Z4, en Z1Z3 evenwijdig aan Z2Z4.
Gebruik hierbij dat AD evenwijdig is aan CB, en BD evenwijdig aan CA.
U hebt Z1,Z2,Z3,Z4 al uitgerekend.
Reken nog een beetje verder:
Z1-Z2=¹/₄(A-D), Z3-Z4=¹/₄(C-B). Omdat AD evenwijdig is aan CB, zijn A-D en C-B gelijkgericht of tegengesteld gericht. Dat geldt dan ook voor Z1-Z2 en Z3-Z4. Daaruit volgt dat Z1Z2 evenwijdig is met Z3Z4.
Evenzo: Z1-Z3=¹/₄(B-D), Z2-Z4=¹/₄(C-A). Omdat BD evenwijdig is aan CA volgt dat Z1Z3 evenwijdig is aan Z2Z4.

hr
18-2-2005