WisFaq!

Re: Lichaamsuitbreidingen

Hoi Christophe,

1.Basis Q(b)
Ik heb een vraag over de basis van Q(b).Ik wil graag met de gegevens Q(b) met b=(1/2)sqrt2+[(1/2)sqrt2]i, de basis bepalen van Q(b) over Q (niet de machtbasis).Maar ik weet niet hoe ik dat op een correct manier moet doen (zonder gebruik te maken van de machten van b).
Want van Q(a) weet ik dat Q bevat is in M=Q(i,sqrt2), dus ik weet ook dat Q bevat is in Q(i) en Q(i) is weer bevat in Q(i,sqrt2).Dus de graad [M:Q]=4 want [M:Q(i)]=2 en [Q(i):Q]=2 (vraag: waarom is [M:Q(i)]=2 en [Q(i):Q]=2 ?)
Dus ik weet dat de basis van M over Q vier elementen heeft.
Er geldt dat Q(a)=Q(i,sqrt2) (vraag:waaom is dit zo?).Ik begrijp niet goed waarom de basis van M over Q gelijk is aan {1,i,sqrt2,isqrt2}.Mijn vraag is hoe je op een juiste wiskundige aantoont en formuleert dat dit een basis is.Want hetzelfde wil ik voor Q(b) doen.
Dus uiteindelijk wil ik een basis voor Q(b) bepalen (zonder gebruik te maken van de machten van b).Maar voor Q(b) heb ik niet zoiets als voor Q(a), dat Q(a)=Q(i,sqrt2).
Wat een verhaal, ik hoop dat het duidelijk is.

2.Over het aantonen van Q(a)=Q(b).Kun je ook het volgende doen:laat zien dat a in Q(b) zit en b in Q(a), en dan ben je klaar.(Waarom weet ik eigenlijk niet goed;als de voortbrenger a van Q(a) in Q(b) zit dat ook alle machten van a.Maar wat ik dan hieruit weer concluderen? Als alle machten van a er in zitten, dan ook alle lin com's?)
a=1+i+sqrt2 , en a=1+b^2+b-b^3.Ik kan a uitdrukken als een lin comb van basiselementen van Q(b), dus a zit in Q(b).En dus Q(a) in Q(b).Nu het omgekeerde:
Als ik wil aantonen dat b in Q(a) zit dan moet ik 1,i,sqrt2,isqrt uitdrukken in machten van a.Maar dat is enorm veel werk want de machten van a zijn grote, moeilijke uidrukkingen.
Maar kun je hier iets de graad doen?Zoiets als:
Q(a) in Q(b), maar Q(a) en Q(b) hebben evenveel elementen in de basis, dus Q(b) kan nooit groter zijn dan Q(a) dus Q(a)=Q(b)?

Heel veel groeten,
Viky

viky
9-2-2005

Antwoord

Hey Viky,

1.a.
[M:(i)] = 2 omdat M gelijk is aan uitgebreid met de elementen i en Ö2.
Dus M is de verzameling van lineaire combinaties van de elementen 1, i, i², i³,..., Ö2, iÖ2, i²Ö2, i³Ö2,..., Ö2², Ö2²i, Ö2²i², ...
Maar vermits Ö2²=2Î en i²=-1Î kan je M dus zien als verzameling van lineaire combinaties van de elementen 1, i, Ö2, Ö2i.
Dus M = {k + li + mÖ2 + niÖ2 met k,l,m,n Î}

(i) is duidelijk een deellichaam van M, en {1,Ö2} is een basis van M over (i). Die basis bestaat uit twee elementen, vandaar dat die index 2 is.

Op analoge wijze toon je aan dat {1,i} een basis is van (i) over , dus dat ook die index 2 is.

1.b. Waarom is (a) gelijk aan M = (i,Ö2)?
Wel, (a) is de verzameling van lincombs van machten van a, dus k+la+ma²+... Je kent echter de minpol van a, dus je weet dat a⁴=4a³-4a²-8. Vandaar dat (a) = {k+la+ma²+na³}. Reken eens a² en a³ uit, je zal zien dat die allemaal in M zitten, want ze bevatten enkel termen als 2i en 2Ö2 en zo. Dus: aangezien 1,a,a²,a³ in M zitten, zit ook elke lineaire combinatie ervan in M, dus zit elk element van (a) in M, dus (a) Í M.

Omgekeerd weet je al dat M = {k + li + mÖ2 + niÖ2 met k,l,m,n Î}. Je zou nu analoog kunnen werken en een uitdrukking vinden voor i (respÖ2, resp iÖ2) in functie van a, op die manier aantonen dat elk basiselement van M in (a) zit en dat dus M Í (a), dus gelijkheid. OF je doet het zo: vermits M en (a) allebei index 4 over , en de een zit in de ander, zijn ze gelijk.

"Ik begrijp niet goed waarom de basis van M over Q gelijk is aan {1,i,sqrt2,isqrt2}." Dat heb ik blijkbaar bij 1a gezet, dat is die afleiding met die machten van i en zo.

En dan die basis voor (b): de machtsbasis is natuurlijk een basis, maar die wil je niet gebruiken. Je hebt al aangetoond dat (a) = (b), dus de basis van de ene is ook een basis van de andere. Hmm, wat voor basissen zou je nog kunnen kiezen? Het volstaat van 4 elementen te kiezen in (b) die lineair onafhankelijk zijn over . Praktisch: ik zal er eens een originele proberen vinden:
Eerste element: b = Ö2/2(1+i)
Tweede element: c = Ö2/2(1-i)
Dat mag, want b en c zijn lineair onafhankelijk.
Derde element: merk op dat ik niet Ö2 mag kiezen want dat is gelijk aan b+c. Zou d = i+Ö2 mogen? Ja, want er bestaat geen lincomb=0 over (behalve 0b+0c+0d) (ga dit na).
Vierde element: Kies bijvoorbeeld 1+i, ook hier kan je weer controleren dat dit onafhankelijk is. Voila, basis gevonden.

2. Je hebt gelijk in die eerste paragraaf: als a in het veld (b) zit, dan ook zijn machten, en dan ook elke lincomb over van die machten, dus elk element van (a) zit dan in (b).

En ook dat laatste klopt volledig. En het is inderdaad niet evident om i, Ö2 en iÖ2 uit te drukken als machten van a, maar met wat handigheid lukt het wel (just for fun)

a⁴-4a³+4a²+8=0 dus
a²(a²-4a+4)+8=0
a²(a-2)²+8=0
[a(a-2)]²-(2iÖ2)²=0
[a(a-2)+2iÖ2] [a(a-2)-2iÖ2] = 0
Dus een van beide factoren is nul, narekenen geeft dat het de tweede is,
dus a(a-2)=2iÖ2 dus iÖ2 = a(a-2)/2

Merk nu op dat
(a+iÖ2)² = (1+i+Ö2+iÖ2)² = 6i+4iÖ2
Dus (a + a(a-2)/2)² = 6i + 4a(a-2)/2
Dus i = ... in functie van machten van a
En dan als laatste: Ö2 = -iiÖ2 = - ... a(a-2)/2
En dan ben je er helemaal...

Tis weer een heel verhaal geworden :-)

Groeten,
Christohpe.

Christophe
9-2-2005