WisFaq!

Tweedegraadsbenadering van een functie

ik moet het volgende doen voor een profielwerkstuk:

bij de functie f(x)=e^2x-1 kun je de tweedegraadsbenadering van het punt (0,5;1) als volgt noteren met de functie g(x)=f(0,5)+f'(0,5).(x-0,5)+f''(0,5).^(x-0,5)2/₂ verder is g(x) te schrijven als g(x)=2x²+0,5

ik moet aantonen dat g(0,5)=f(0,5) en dat g'(0,5)=f'(0,5)en dat g''(0,5)=f''(0,5)

kun u mij uitleggen hoe ze aan g(x) komen en hoe ze deze herleiden tot g(x)=2x²+0,5 en hoe ik kan aantonen dat g(0,5)=f(0,5) en dat g'(0,5)=f'(0,5)en dat g''(0,5)=f''(0,5). want ik snap er werkelijk geen woord van.

Groetjes Klaas

Klaas
7-2-2005

Antwoord

Klaas,
Als een functie f differentieerbaar is in x=a dan is
P(a+h)=f(a)+f'(a)h een lineaire functie in h die een benadering is voor f voor punten in de buurt van a.Voor deze benadering geldt dat P(a)=f(a)(neem h=0)en
P'(a)=f'(a).We spreken van een 2de graadsbenadering als we nemen P(a+h)=f(a)+f'(a)h+f''(a)h²/2.Deze benadering heeft de eigenschap dat P(a)=f(a),P'(a)=f'(a) en P''(a)=f''(a)
Als f(x)=exp(2x-1),dan is f'(x)=2exp(2x-1)en
f''(x)=4exp(2x-1).We nemen a=0,5 en a+h=x,dus h=x-0,5.
Dan is P(x)=f(0,5)+f'(0,5)(x-0,5)+f''(0,5)(x-0,5)²/2.
Nu is f(0,5)=exp(0)=1,f'(0,5)=2 en f''(0,5)=4,zodat
P(x)=1+2(x-0,5)+4(x-0,5)²/2=2x²+0,5.
Neem g(x)=P(x)=2x²+0,5 en ga zelf maar controleren dat
g(0,5)=f(0,5)=1 enz.
Hopelijk zo duidelijk.

kn
8-2-2005