WisFaq!

Symmetrieen van een kubus

ik moet in een opdracht laten zien dat een kubus 48 symmetrieen heeft. ik heb alle symmetrieen door rotatie gevonden, dat zijn er 24(inclusief de indentiteit) maar de 24 spiegelsymmetrieen kan ik niet vinden ik kom tot 12. maar verder kan ik er echt geen vinden. zouden jullie me kunnen helpen?

zoe
7-2-2005

Antwoord

Stel dat O het middelpunt van de omgeschreven bol van de kubus is. Zo'n symmetrie is een lineaire afbeelding in de ³ met oorsprong O, en wel van het type 'draaiing' of 'draaispiegeling'.
Ze laat dus een lineaire deelruimte D puntsgewijs invariant of is in D een puntspiegeling tov O, en voert in het orthoplement van D een draaiing uit.
Voor D of zijn orthoplement kan men nemen:
het punt O alleen, of
een rechte door O parallel aan een ribbe of door het midden van een ribbe of door een hoekpunt, of
een plat vlak door O parallel aan een zijvlak of gaande door een ribbe of loodrecht op een rechte door O en een hoekpunt, of
de hele ruimte ³.
Elke mogelijkheid levert een permutatie van de hoekpunten op. Er zijn blijkbaar 48 verschillende permutaties die zo ontstaan. Ga maar na.
Deze permutaties vormen met de compositie een groep.
Zie ook onderstaande link!

Zie Part 3: Symmetries of the cube [http://www.maths.uwa.edu.au/~schultz/3P5.2000/3P5.2%2C3SquareCube.html]

hr
9-2-2005