WisFaq!

Transcendente getallen

Hallo wisfaq,

Voor ieder tweetal algebraïsche getallen a en b, met a ongelijk aan 0,1 en b niet in Q (rationale getallen), is a^b transcendent.Ik wil uit dit resultaat afleiden dat 2^sqrt2, log3/log2 en e^pi transendent zijn:
1. 2^sqrt2: 2 is ongelijk aan 0 en 1, sqrt2 zit niet in Q, dus is 2^sqrt2 transcendent.
2.log3/log2, hier begrijp ik niet wat ik moet doen.
3.e ongelijk aan 0 of 1, pi niet in Q, dus e^pi is transcendent.Is dit wel juist?Zit er niet meer achter?

Groeten,
Viky

viky
1-2-2005

Antwoord

Hoi Viky...

1. is correct.

3. Hier maak je een redeneringsfout want e noch pi zijn algebraisch. Waarschijnlijk werd dit bedoeld: uit het ongerijmde, stel dat e^p algebraisch is. i is duidelijk ook algebraisch als wortel van X²+1 (zie trouwens ook je andere vraag ) en zit niet in . Volgens je stelling zou dan (e^p)ⁱ transcendent zijn, maar (e^p)ⁱ = -1, dus duidelijk niet transcendent. Conclusie: de veronderstelling was fout, dus e^p is transcendent.

2. Noem a = log3/log2.
Wegens rekenregels voor logaritmen geldt dan: a = ²log3.
Per definitie van log geldt dus: 2^a=3.
- Stel dat a algebraisch is en niet in zit. Dan kan je je stelling toepassen en besluiten dat 3 transcendent is, dat kan dus niet juist zijn.
- Stel dat a algebraisch is en wel in zit. Dus a=m/n met m en n onderling ondeelbaar, niet nul, geheel.
2^a=3 dus 2^(m/n)=3
dus 2^m=3ⁿ.
Een gehele macht van twee die gelijk is aan een gehele macht van 3? Vergeet het maar... Dus ook dit geval kan niet.
- Enige overblijvende mogelijkheid: a is niet algebraisch dus transcendent.

Leuke doordenkertjes

Groeten,
Christophe.

Christophe
4-2-2005