WisFaq!

Pythagoras en parallellogramwet

Hallo wisfaq,

1.
Zij v een vectorruimte met inproduct. Zij u,vÎV met
u^v.
Bewijs (gegeneraliseerde Pythagoras) dat:
||u+v||² = ||u||² + ||v||²

2.
Bewijs in situatie van 1 de parallellogramwet
||u+v||² + ||u-v||² = 2||u||² + 2||v||², voor alle u,vÎV (niet noodzakelijk u^v)

Ik vind dit allemaal wel heel logisch maar hoe kan ik dat nu bewijzen?

Liefs Amy

Amy
30-1-2005

Antwoord

Beste Amy,

Beide eigenschappen zijn erg makkelijk te bewijzen als je dit even gebruikt als tussenredenering:

Het kwadraat van de norm van een vector wordt gedefinieerd als het inproduct met zichzelf:
||x+y||² = x+y,x+y
Als je dit inproduct uitwerkt krijg je :
||x+y||² = x+y,x+y = ||x||² + 2x,y + ||y||²

Hiermee kunnen we jouw stelling nu handig bewijzen.

Voor Pythagoras is het nu feitelijk al bewezen, "2x,y" is immers 0 doordat x en y orthogonaal zijn, er blijft dus over:
||x+y||² = ||x||² + ||y||²

Voor de parallellogramregel doe je hetzelfde voor de norm van "x-y", je krijgt dan voor die laatste regel:
||x-y||² = x-y,x-y = ||x||² - 2x,y + ||y||²

Als je in die 2 uitdrukkingen alles naar één lid brengt behalve 2x,y (en -2x,y), dan krijg je deze 2:

2x,y = ||x+y||² - ||x||² - ||y||²
- 2x,y = ||x-y||² - ||x||² - ||y||²

Beide uitdrukkingen lid aan lid optellen geeft:
0 = ||x+y||² +||x-y||² - 2||x||² - 2||y||²

Dus: ||x+y||² +||x-y||² = 2||x||² + 2||y||²

Ziezo, hopelijk kom je er aan uit.

mvg,
Tom

td
30-1-2005