WisFaq!

Cilinderoppervlak

Er is een type vraag waar ik maar geen oplossing weet op te vinden. En wel de volgende :
Wat is de vergelijking van een cilinderoppervlak met richtkromme C, met C de doorsnede van een bol (met bijvoorbeeld vergelijkin (x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2=9 )
en een vlak (met vergelijking x+y+z=3). Ten slotte is ook de richting van de beschrijvenden gegeven (bijvoorbeeld (2,1,3) )
Het meeste begrijp ik wel van dit onderdeel, enkel dit type vraag weet ik maar niet op te lossen.

Dank bij voorbaat

Bob VA

Bob Van Abbenyen
26-1-2005

Antwoord

Het is een bol met middelpunt (1,1,1) en straal 3.
Gebruik dan bolcoördinaten: x = 1 + 3sinqcosj
y = 1 + 3sinqsinj
z = 1 + 3cosq.
Uit x+y+z=3 (vlak door het middelpunt) volgt
sinq(cosj+sinj)+cosq=0,
dus tanq = -1/(cosj+sinj).
Nou, dat wordt wat ingewikkeld. Misschien is het eenvoudiger, gewoon rechthoekige coördinaten te gebruiken.

Je moet de twee vergelijkingen x+y+z=3 en (x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2=9 combineren, om een parametervoorstelling met 1 parameter te krijgen.
Stel bijvoorbeeld x=l, en substitueer dat in
(x-1)^2+(y-1)^2+(3-x-y-1)^2=9; er komt
(l-1)^2+(y-1)^2+(3-l-y-1)^2=9.
Beschouw dit als een vierkantsvergelijking: werk hem uit en bereken y met de a,b,c-formule.
Noem de oplossingen y=y₁(l) en y=y₂(l).
De snijcirkel heeft dan deels parametervoorstelling
(x,y,z)=(l,y₁(l),3-l-y₁(l)), deels idem met index 2 ipv 1.
De cylinder krijgt men dan tenslotte door de regels in de gegeven richting toe te voegen, dus die heeft deels parametervoorstelling
(x,y,z)=(l,y₁(l),3-l-y₁(l)) + m(2,1,3), deels idem met index 2 ipv 1.

hr
27-1-2005