WisFaq!

Irrationale vergelijking

Hallo Wisfaq,
Nogal een probleem...
(2x-a)^1/3=(x-2a)^1/3+((2x-a)(x-2a))^1/6
Kunt U wat helpen, aub.
Groeten,
Hendrik

hl
25-1-2005

Antwoord

Hallo Hendrik,

Ik heb het als volgt gedaan: noem (2x-a)^(1/3) = X en (x-2a)^(1/3) = Y. Dan staat er:
X = Y + Ö(XY)
X - Y = Ö(XY)
Kwadrateer:
X² - 2XY + Y² - XY = 0
X² - 3XY + Y² = 0
Vat dit op als een kwadratische vergelijking in X, dus met discriminant 9Y² - 4Y² = 5Y²
Dus X = (3Y ± Ö5Y)/2
X = Y * ^3±Ö5/₂
Nu gaan we terug naar x en a, dus neem eerst de derdemacht:
X³ = Y³ * (^3±Ö5/₂)³
2x-a = (x-2a)(^3±Ö5/₂)³
Na wat uitwerking: 2x-a = (9±4Ö5)(x-2a)
Of dus x(2-(9±4Ö5)) = a(1-2(9±4Ö5))
Dus x = a * (1-2(9±4Ö5)) / (2-(9±4Ö5))

Door het kwadrateren in het begin kan het nu wel zijn dat er onjuiste oplossingen zijn toegevoegd. Dus is het wel nodig om eens na te gaan of de bekomen oplossingen wel degelijk voldoen aan de oorspronkelijke gelijkheid, en dat blijkt inderdaad zo te zijn.

Groeten,
Christophe.

Christophe
25-1-2005