WisFaq!

Inhoud en oppervlakte formules van een bol bewijzen

Hoi WisFAQ,

ik heb zo goed als alle vragen bekeken, maar kon het antwoord niet vinden! Ik moet de oppervlakte en inhoudsformules van een bol bewijzen, maar heb geen idee hoe ik dit moet doen. Wel met integralen, maar ik snap niet hoe je:

van ' x² + y² = r² ' d.m.v. integreren/primitiveren naar de formules I(bol)= 3/4$\pi$r³ en A(bol)= 4$\pi$r² komt.

Wel weet ik dat I(bol)' = A(bol)

Alvast bedankt, Harm.

Harm
24-1-2005

Antwoord

Beste Harm,

Als eerste een plaatje van de situatie (je ziet de bovenste helft van een cirkel).



Je kunt een rechthoekige driehoek tekenen als je een punt (x,y) op de cirkel kiest. Het lijnstuk van de oorsprong naar het punt (x,y) is de straal aangegeven met r. Het horizontale stuk is aangegeven met x en het verticale stuk is aangegeven met y. In een rechthoekige driehoek geldt de stelling van Pythagoras. Dus r² = x² + y². We willen een uitdrukking in y hebben, dus hervormen we de vergelijking tot y² = r² - x². Oftewel y = ±√(r² - x²). Let wel, dit is geen functie maar een relatie (er bestaan meerdere beelden voor één origineel). Als je y = √(r² - x²) plot zie je dat dit het 'bovenste gedeelte' van de cirkel beschrijft, en y = -√(r² - x²) is hetzelfde als y = √(r² - x²), maar dan gespiegeld in de x-as.
We kiezen y = √(r² - x²) als functie om via integreren de oppervlakte- en inhoudsformule van een bol te bepalen.

De formule om de oppervlakte van een omwentelingslichaam te bepalen is 2$\pi$_a$\int{}$^bf(x)·√(1+(f'(x))²) dx.

Het integratiegebied loopt van -r tot en met r. (De x-as wordt links gesneden in het punt (-r,0) en rechts in het punt (r,0)).
Dus de oppervlakte van de bol wordt gevonden door de integraal 2$\pi$_-r$\int{}$^r√(r² - x²)·√(1+((√(r² - x²))')²) dx te bepalen.


Dan de inhoud van een bol. De formule voor de inhoud van een omwentelingslichaam gaat als volgt $\pi$_a$\int{}$^b(f(x))² dx.



Ik hoop dat het nu duidelijk is, zo niet reageer dan even.

Groetjes,

Davy.

Davy
24-1-2005