WisFaq!

Dualiteit platonische lichamen

Beste mensen, morgen moet ik mijn wiskunde po inleveren, en ik heb een vraagje over dualiteit. Ik heb het volgende schema gemaakt:

                       t      h      o       d       i
Aantal zijvlakken      4      6      8      12      20
Aantal hoekpunten      4      8      6      20      30
Aantal ribben          6     12     12      30      12
Orde van de zijde      3      4      3       5       3
Orde van het hoekpunt  3      3      4       3       5

Nu was de vraag hoe je die dualiteit kon zien in het schema. Heeft dat met orde van zijde en orde van hoekpunt te maken? Want de orde van zijde van een hexaeder is de orde van hoekpunt van een octaeder. En de orde van het hoekpunt van een hexaeder is de orde van een zijde van een octaeder. Zo ook bij het dodecaeder en een icosaeder. En als je twee tetraeders neemt ook.
Klopt dit of verkondig ik nu de meest grote onzin ooit?
bvd,
Bianca

Bianca
23-5-2002

Antwoord

De dualiteit heeft inderdaad te maken met 'orde van zijde' en 'orde van hoekpunt'. Of zoals op http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/platonic-info.html staat: 'Observe that if {p,q} is a possible solid, then so is {q,p}.'.

Het is nog veel gekker! Als je een kubus tekent {4,3} en je verbindt alle 'middelpunten' van de 6 zijden met elkaar, dan krijg je een octaëder {3,4} en andersom!. Toeval?



En wat dacht je van de dodecaeder {5,3} en icosaeder {3,5}?



Dan zou de tetraeder {3,3} zijn 'eigen' duale moeten zijn!
En wat denk je:



Nou dat is toch mooi! Dus helemaal geen onzin! De vraag is natuurlijk hoe dat nou precies in elkaar steekt... hoe kan dat? Maar daar mag je zelf over nadenken...

Zie Platonic solids [http://mathworld.wolfram.com/PlatonicSolid.html]

WvR
23-5-2002