Zodra je de definitie kent van faculteit kan je zelf een eenvoudig voorbeeldje construeren.
In de veronderstelling dat b>c>d>e: (met andere woorden b is minstens 3)
Stel b=6,c=5,d=4,e=3
=
6!+5!+4!+3! = 6.5.4.3!+5.4.3!+4.3!+3!= (6.5.4+5.4+4+1).3!
Opdat dit een faculteit zou zijn moet 4 een deler zijn van (6.5.4+5.4+4+1). Op die manier kan je de uitdrukking dan schrijven als C.4.3! = C*4! met 4.C=6.5.4+5.4+4+1
Maar 6.5.4+5.4+4+1 is niet deelbaar door 4. (Controleer dit zelf maar eens)
Dus op die manier komen we nooit tot een faculteit.
De oorzaak ligt bij die +1 in (6.5.4+5.4+4+1) want al de rest is deelbaar door 4.
Dus, ofwel moet die 1 ook een 4 zijn, ofwel moeten de 4 termen allemaal oneven zijn en bijgevolg 1 (want ofwel bevatten ze een 4 (omwille van de faculteit) ofwel zijn ze 1). Het eerste geval impliceert dat e=4!, het tweede geval impliceert dat b=c=d=e=3! =
(1+1+1+1).3! = 4.3!=4!Stel e=4! en de rest blijft onveranderd.
dan is b!+c!+d!+e!=6!+5!+4!+4!=(6.5+5+1+1).4!
dit moet opnieuw een faculteit zijn van een zeker getal. Bijgevolg moet 5 een deler zijn van (6.5+5+1+1), maar 5 is daar geen deler van omdat 6.5+5+1+1 = 37 en 37 is niet deelbaar door 5.
De enige manier om er voor te zorgen dat die som deelbaar wordt door 5 is van die enen een 5 maken. M.a.w. we starten met b=6, c=d=e=5.
b!+c!+d!+e!=6!+5!+5!+5!=(6+1+1+1).5!=9.5!
dit is opnieuw geen a! omdat 9 niet deelbaar is door 6.
Indien opnieuw die enen in (6+1+1+1) zessen waren dan was die som wel deelbaar geweest door 6.
Met andere woorden, opdat je de faculteiten mooi zou kunnen optellen, moet b=c=d=e.
nu is voor een willekeurige b,c,d en e (alle vier gelijk)
b!+c!+d!+e!=4.b! En dit is pas een faculteit als 4 nog niet als factor voorkomt in b! =
b=3 zodat b!=3.2.1 en a!=4!=4.3.2.1=4.b!
Nu stel dat b<3 want die gevallen zijn we nu wel overgeslaan. stel b=0 dan is ook c=d=e=0 met 0!=1 (per definitie) krijg je dat b!+c!+d!+e!=4.0!=4 wat geen faculteit is. => geen oplossing.
Voor b=1, krijg je naar analogie geen oplossing. 1!=1
Voor b=2 krijg je wel nog een oplossing nl: c,d,e allemaal 2 of 1
b!+c!+d!+e!=2!+c!+d!+e!= (2+c+d+e).1
Indien (2+c+d+e) deelbaar moet zijn door 2 dan moeten ze ofwel allemaal 2 zijn ofwel is bijvoorbeeld c=2 en d=e=1.
In het eerste geval krijgen we b=c=d=e=2 zodat b!+c!+d!+e!=4.2! Bijgevolg geeft dit geen oplossing.
In het tweede geval is b=c=2 en d=e=1 zodat b!+c!+d!+e!=2!+2!+1!+1!=2+2+1+1=6=3.2.1 = 3!
Met vriendelijke groeten,
Els
Els
24-1-2005