WisFaq!

Re: Re: ²log x = ⁴log (2x +1)

Hallo Davy,
Mogen de wortels verder vereenvoudigd worden tot
1+Ö2 en 1-Ö2, waarvan dan de tweede omwille van het negatief zijn verworpen wordt ten aanzien van het principe dat een log van een negatief getal niet bestaat?

hl
21-1-2005

Antwoord

Beste Hendrik,

Je hebt gelijk dat Ö(8) = Ö(4·2) = 2Ö(2). Waarmee de oplossingen van de vierkantsvergelijking kunnen worden vereenvoudigd tot x = 1 - ¹/₂Ö(8) ofwel x = 1 - ¹/₂·2Ö(2) ofwel x = 1 - Ö(2).
En hetzelfde geldt voor x = 1 + ¹/₂Ö(8) dat is x = 1 + Ö(2). De reden waarom x = 1 - Ö(2) niet als oplossing 'meedoet' (als je alleen reële getallen als oplossing toelaat) kun je als volgt vinden. Vul de oplossing in de oorspronkelijke vergelijking in. Links en rechts van het '='-teken moet hetzelfde staan.
Dus ²log(1 - Ö(2)) = ⁴log(2(1 - Ö(2)) + 1).
Het probleem is dat links van de '=' staat ²log(negatief getal). M.a.w. 2^iets = negatief getal.
Dat kan dus nooit want als 'iets' positief is dan doe je 2·2·2·... ('iets' factoren, 'iets' heb ik voor het gemak als natuurlijk getal voorgesteld, maar het geldt ook voor positieve reële getallen) en dat is postief (en we moeten negatief krijgen). Verder geldt 2⁰ = 1. Als 'iets' negatief is dan kun je de volgende regel gebruiken 2^-n = ¹/_2ⁿ en we hebben net gezien dat 2ⁿ altijd postief is (n is hier positief). Dus 2^-n is ook positief. Dus links staat iets wat ongedefinieerd is en dat kan dus nooit een oplossing zijn van de vergelijking (want rechts van de '=' staat wél een uitkomst namelijk -1,271553300...).

Davy
22-1-2005