WisFaq!

Berekenen standaardhoeveelheid productiefactoren

Beste WisFaq,

In de volgende opgave loop ik tegen een probleem aan.

Produkt X wordt uitsluitend voortgebracht met mens-uren (=productiefactor a) en machine-uren (=productiefactor b).

De standaardprijzen van deze producitefactoren luiden:
één mens-uur (factor a) kost €45,-
één machine-uur (factor b)kost €15,-

De productiefuncite luidt: Q= 40 Ö¹/₃ab
waarin
Q = hoeveelheid produkt
a = hoeveelheid mensuren
b = hoeveelheid machine-uren

De vraag bij deze opgave is nu: Bereken de standaardhoeveelheid (of terwijl de hoeveelheid waarbij de kosten het laagst zijn) van de productiefactoren a en b uitgaande van een gewenste output van 1000 stuks (Q)

De verhouding tussen a en b heb ik als volgt berekent:
1000 = 40Ö¹/₃ab
1000/40 = Ö¹/₃ab
25 = Ö¹/₃ab
25² = ¹/₃ab
625 = ¹/₃ab
1875 = ab
b = 1875/a

De verhgouding tussen a en b is dus b = 1875/a

De kosten kunnen worden gevonden door:Kosten(K)= 45a + 15b
Voor a en b moeten hier de ideale (standaardhoeveelheid) van de twee productiefactoren worden ingevuld.

Deze standaardhoeveelheid wordt alsvolgt berekend:
K= 45a + 15 x 1875/a
De breuk kun je alsvolgt uit deze vergelijking halen:
K= 45a + 15 x 28125a (tot de macht -1)
Ik kom aan de 28125a (tot de macht -1) door
15 x 1875 is 28125 Dit zou je kunnen delen door a.
Maar aangezien ik de breuk eruit wil halen mag ik ook vermenigvildigen met het omgekeerde dus x a (tot de macht -1)
Vervolgens wordt de volgende stap gemaakt en die snap ik niet.
K/a = 45 - 28125 a (tot de macht -2)
Ik snap dat 45a, 45 wordt omdat voor het = teken al gedeeld wordt door a. Ook snap ik hoe men aan de a (tot de macht -2) komt. Immers a (tot de macht -1) is gewoon gedeeld door a). Ik snap alleen niet waarom er een - staat voor 28125a (tot de macht -2)

Kunnen jullie me in de goede richting helpen?
Alvast bedankt!!

Annelies
20-1-2005

Antwoord

Annelies,
jou oplossing is niet correct.De vraag is bij welke verhouding van de productiefactoren a en b de kosten minimaal zijn.Uit de productiefunctie heb je afgeleid dat
ab=1875.Dus b=1875/a.Dit is een isoquant.Teken deze.Hieruit volgt dat
db/da=-1875/a²=-b/a want 1875=ab.
Waarom hebben we dit nodig? De kostenlijn K=45a+15b.
Teken deze lijn eens voor K=675,K=450,K=180.Dit zijn de isokostenlijnen.Je ziet dat naarmate K afneemt de lijn steeds dichter naar de oorsprong schuift.Maar deze lijn moet wel een punt gemeen hebben met de isoquant.Als de kostenlijn aan de isoquant raakt heb je de optimale produktcombinatie.Nu is
db/da=-b/a de richtingscoefficient van de raaklijn aan de isoquant in (a,b) en de r.c. van de isokostenlijn is -3.
Dus: -b/a=-3®b=3a.Dit is de optimale produktcombinatie.
®K=45a+15(3a)=90a en 1875=ab=a(3a)=3a²®a=25.
Dus minimale kosten K=90*25=2250.
Hopelijk is het zo duidelijk.
Succes.

kn
21-1-2005