WisFaq!

Bewijs limiet door insluiting

Dit is een vraag van ik heb de klok horen luiden, maar weet niet meer waar de klepel hangt. Ooit heb ik eens een methode gezien waarmee je de limiet van een functie kan bepalen door middel van insluiting. Hoe werkt deze methode, en wat is het bewijs dat deze methode ook klopt?

Robbert Simonse
22-5-2002

Antwoord

De methode van insluiting draait in feite om het volgende:

Stel dat een rij getallen met term t(n) voldoet aan de volgende voorwaarden: elke term is groter of gelijk aan een vast getal a en bovendien is elke term t(n) van de rij kleiner of gelijk aan de corresponderende term u(n) van een andere rij.

Kortom: at(n)u(n)

Als nu, bij toenemende n, de term u(n) steeds dichter bij het getal a komt (dus a is de limietwaarde van die rij), dan wordt de term t(n) als het ware platgedrukt tussen het vaste getal aan de linkerkant en het naar a oprukkende getal u(n) aan de rechterkant.

De limiet van de rij t(n) zal dan dus ook gelijk zijn aan a.

Als voorbeeldje:

Stel t(n) = ¹/_n.cos²n

Omdat cos²n altijd tussen 0 en 1 zal liggen (inclusief), kun je zeggen dat t(n) ¹/_n
De term t(n) zit dus altijd 'klem' tussen het getal 0 en het getal 1/n.
Als nu n alsmaar toeneemt, dan wordt 1/n steeds meer gelijk aan 0.
Maar dan wordt de term t(n) dus zelf steeds dichter naar 0 gevoerd. Kortom: de limiet van de rij is 0.

MBL
22-5-2002