WisFaq!

Moeilijke integralen

Zou het mogelijk zijn om enkele integralen op te lossen:

$\int{}$dx/sinx
$\int{}$√(e^x+1)
$\int{}$dx/sin⁴x
$\int{}$dx/(1+cosx)

jimmy
18-1-2005

Antwoord

Hallo Jimmy,

Enkele tips:
Voor de eerste geven de t-formules een heel mooi resultaat (dus stel t=tg(x/2) dan wordt sinx = 2t/(1+t²) en dx = 2dt/(1+t²)). Als je met functies zit waar enkel sinussen en cosinussen in staan, kan je heel vaak de t-formules gebruiken.

De tweede:
Die kan je snelst doen met substitutie, stel eens de hele wortel van e^x + 1 gelijk aan u, dan krijg je de integraal van:
2u² / (u² - 1) du
En die is eenvoudig op te lossen: voer de deling uit en werk met partieelbreuken.
Ook als je gewoon e^x + 1 gelijk stelt aan t, of e^x = t, kom je er wel, maar zit je nog met een wortel in de integraal en dan zal je nog een substitutie moeten doen.

De derde: er bestaan recursieformules, waarmee je de integraal van een macht van een sinus kan schrijven als functie van de integraal van een lagere macht van een sinus. Maar als je die niet gezien hebt zal je het anders moeten doen, bijvoorbeeld:
Je ziet dat er een macht van een sinus in de noemer staat, nu weet je dat de afgeleide van de cotangens gelijk is aan 1/sin²(x), dus dat lijkt wel een goede substitutie.
En inderdaad, met t = cotg(x) komt er de integraal van:
- (t² + 1) dt (steun ook op 1/sin²(x) = 1 + cotg²(x) )

En de laatste: die komt heel eenvoudig (maar echt belachelijk eenvoudig) uit met de t-formules. Een andere manier is de dubbelehoekformule gebruiken:
1+cosx = 2cos²(x/2)
En dan staat er op wat factoren 2 na een basisintegraal die een tangens oplevert.

Khoop dat dit helpt,

Groeten,
Christophe.

Christophe
19-1-2005