WisFaq!

Vlaamse wis Olympiade

Goedeavond ,
Ik zit vast bij de volgende opgave uit de vwo eerste ronde van 2002
Vraag 10
Van een functie f op is geweten dat f(mn) = mf(n) + nf(m) voor elke m , n € en dat f(12) = f(15) = f(20) = 60
wat is nu f(8)

8
12
16
24
36
Hartelijk Dank

Dirk
16-1-2005

Antwoord

De functie f is een wel zeer bijzondere functie. Hoe je het argument ook opsplitst in twee delen m en n, de relatie blijft altijd gelden, zegt de opgave. Daar kunnen we dus gretig gebruik van maken:

f(12)=f(3.4)=3f(4)+4f(3)=60
f(15)=f(3.5)=3f(5)+5f(3)=60
f(20)=f(4.5)=4f(5)+5f(4)=60

Dat levert een stelsel van 3 vergelijkingen in de drie onbekenden f(3),f(4) en f(5). Je vindt

f(3)=9
f(4)=8
f(5)=5

f(2) volgt nu gemakkelijk uit f(4)
f(4)=f(2.2)=2f(2)+2f(2) = f(2)=2

En voor f(8) vinden we tenslotte
f(8)=f(2.4)=2f(4)+4f(2) = f(8)=24

PS: Merk op dat het niet meteen duidelijk is of er geen andere redenering tot een andere oplossing zou leiden, maar die bedenking kan je bij het oplossen van dergelijke meerkeuzevragen natuurlijk gerust achterwege laten...

PS2: Als m en n functies zouden zijn ipv getallen, wat voor bewerking "f" voldoet dan aan de gegeven eigenschap?

cl
16-1-2005