WisFaq!

Gulden snede

hoi, ik heb een vraagje ivm de gulden snede. Ik heb al een paar sites bezocht, maar echt een duidelijk antwoord vind ik niet. Ik hoop dat jullie mij kunnen helpen.
beschouw de rij 1,F,F²,F³,...
Toon aan dat de rij ook geschreven kan worden als 1,F,F+1,2F+1,3F+2,...

eef
16-1-2005

Antwoord

De getallen die voorkomen in de tweede rij zijn Fibonacci-getallen, waarvoor geldt fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2), vertrekkend van fib(1)=fib(2)=1.

Meer bepaald probeer je te bewijzen dat

F^k = fib(k)F+fib(k-1)

Dat kan je bijvoorbeeld met volledige inductie:

1) de bewering klopt voor k=2
2) stel dat ze klopt voor k=n, dat dus maw

F^n = fib(n)F+fib(n-1)

klopt ze dan ook voor k=n+1? Ja, want

F^(n+1)
= F^nF
= [fib(n)F+fib(n-1)]F (uit de hypothese)
= fib(n)F²+fib(n-1)F
= fib(n)(F+1)+fib(n-1)F (gebruik het geval k=2)
= (fib(n)+fib(n-1))F+fib(n)
= (fib(n+1))F+fib(n) (definitie fibonacci-getallen)

cl
16-1-2005