WisFaq!

Vraag Vlaamse Wiskunde Olympiade

Gegroet ,
ik maak een aantal oef ter voorbereiding van deze wedstrijd, en ben gebotst op deze oefening :
nummer 30 van de eerste ronde van 2003

Ze gaat als volgt :

Bij deling van de veelterm x³ + x^5 + x^7 +x^11 + x ^13 + x^17 + x^19 + x ^23+ x^29 door ^x² - 1 is er een rest

De getalwaarde voor x=2 voor die rest =

2
3
9
18
27
Ik ben begonnen met euclidisch delen , maar ik geraak vast
Hopelijk weten jullie raad
Hartelijk dank

Dirk
16-1-2005

Antwoord

Het resultaat van zo een deling is het verband

f(x) = quotient(x).deler(x) + rest(x)

waarbij

graad(quotient)=graad(f)-graad(deler)
graad(rest)graad(deler)

zodat in dit geval

x^3+...x^29 = quotient(x).(x²-1) + (ax+b)

Vul nu x=1 en x=-1 in bovenstaande relatie in om a en b te bepalen. Dat je quotient(1) en quotient(-1) niet kent, is niet erg, want die waarden worden vermenigvuldigd met nul, daarom ook dat 1 en -1 zo handig zijn om in de vergelijking te stoppen.

Lukt het zo?

cl
16-1-2005