WisFaq!

Periodieke breuken

Kun je aantonen dat elke breuk die niet eindig is, zeker periodiek is, dus niet zoals Ö2 achter de komma altijd weer cijfers geeft zonder regelmaat? ik heb van alles geprobeerd, maar ik weet het gewoon niet

jennifer
15-1-2005

Antwoord

Tip: doe eens alsof je de staartdeling maakt van een bepaalde breuk. Voor de deelresten r(i) geldt zeker

0 = r(i) noemer

Aangezien er dus een eindig aantal waarden zijn die r(i) kan aannemen, kom je na een bepaald aantal keer gegarandeerd in een situatie terecht die je al eens bent tegengekomen, zodat de decimale voorstelling (of een in een talstelsel met een ander grondtal) repeteert.

cl
16-1-2005