WisFaq!

Een bewijs

Goedemiddag!

Als huistaak heb ik opgekregen de volgende vraag:

Zij r een rationaal getal en nÎ*. Toon aan dat uit
r^n Î volgt dat rÎ.

Zou iemand me willen helpen?

Teddy
15-1-2005

Antwoord

Uit het ongerijmde:

Veronderstel dat de stelling niet waar is. Als r een element van \ is, met andere woorden een rationaal getal dat niet geheel is, dan is r van de vorm
r=p/q met p in en q in \{0}, q deelt p niet! (anders zou r wel in zitten)

rⁿ= r·r·r·...·r (dit n keer)

  p·p·p·...·p
=-------------  (telkens n keer)
  q·q·q·...·q
 

Gegeven is dat dit getal (rⁿ) in zit, dus (om de breuk te herleiden tot een geheel getal) moet p deelbaar zijn door q , een strijdigheid. (we hadden ondersteld dat q p niet deelt)

Koen

km
15-1-2005